Hình hoc – Chương 3 – Bài 3: Phương trình đường thẳng

Bài 24 (trang 102 sgk Hình Học 12 nâng cao):

Viết các phương trình (tham số và chính tắc) của các đường thẳng sau:

a) Các trục tọa độ Ox, Oy và Oz.

b) Các đường thẳng đi qua điểm M₀ (x₀,y₀,z₀) (với x₀y₀z₀ ≠ 0) và song song với mỗi trục tọa độ.

c) Đường thẳng đi qua M(-2, 1, 2) và có vectơ chỉ phương u→(0,0,-3)

d) Đường thẳng đi qua N(2, 1, 2) và vectơ chỉ phương u→=(-1,3,5)

e) Đường thẳng đó qua N(3, 2, 1) và vuông góc với mặt phẳng: 2x-5y+4=0

f) Đường thẳng đi qua hai điểm P(2, 3, -1) và Q(1, 2, 4).

Lời giải:

a) Trục Ox là đường thẳng đi qua O(0, 0, 0) và nhận i→=(0,0,0) làm vectơ chỉ Phương nên có Phương trình tham số là:

Tương tự, trục Oy có phương trình

Trục Oz có phương trình

b) Đường thẳng đi qua M₀ (x₀,y₀,z₀) song song với trục Ox sẽ có vectơ chỉ phương là i→(1,0,0) nên có phương trình tham số là:

tương tự ta có Phương trình của đường thẳng đi qua M₀ (x₀,y₀,z₀) và song song với Oy là:

phương trình đường thẳng đi qua M₀ (x₀,y₀,z₀) và song song với Oz là

c) Đường thẳng đi qua M(2, 0, -1) và có vectơ chỉ phương u→(-1,3,5) có phương trình tham số là

có phương trình chính tắc là

d) Đường thẳng đi qua N(-2, 1, 2) và có vectơ chỉ phương u→(0,0,-3) có phương trình tham số là

Đường thẳng này không có Phương trình chính tắc.

e) Đường thẳng đi qua N(3, 2, 1) và vuông góc với mặt phẳng: 2x- 5y + 4= 0 nên nó nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này làn→(2,-5,0) là vectơ chỉ phương, nên ta có phương trình tham số là

Đường thẳng này không có Phương trình chính tắc.

f) Đường thẳng đi qau P(2, 3, -1) và Q(1, 2, 4) sẽ nhận PQ→(-1,-1,5) là vectơ chỉ phương, nên có phương trình tham số là

và có phương tình chính tắc là

Bài 25 (trang 102 sgk Hình Học 12 nâng cao):

Viết phương trình tham số, chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:

a) Đường thẳng đi qua điểm (4, 3, 1) và song song với đường thẳng có phương trình:

b) Đường thẳng đi qua điểm(-2, 3, 1) và song song với đường thẳng có phương trình:

Lời giải:

a) Vì hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương nên đường thẳng cần tìm đi qua điểm (4, 3, 1) và nhận vectơ chỉ Phương của đường thẳng đã cho là u→=(2,-3,2) là vectơ chỉ phương.

Vậy đường thẳng đã có phương trình tham số là:

Và có phương trình chính tắc là:

b) Tương tự câu a, ta có đường đi qua (-2, 3, 1) và song song với đường thẳng:

có phương trình tham số là:

Và phương trình chính tắc là:

Bài 26 (trang 102 sgk Hình Học 12 nâng cao):

Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d):

trên mỗi mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và (P) vuông góc với mp(Oxy). Khi đó hình chiếu vuông góc của d trên mp(Oxy) chính là giao tuyến của (P) với mp(Oxy). Mp(P) đi qua M₀ (1,-2,3)∈d và nhận nn→=[u→,k→ ] làm vectơ pháp tuyến, với u→(2,3,1) là vectơ chỉ phương của d và k→=(0,0,1) là vectơ pháp tuyến mp(Oxy), từ đó ta tính được n→=(3,-2,0)

Vậy phương trình của (P) là: 3(x-1)-2(y+2)=0 <=> 3x-2y-7=0 mà mp(Oxy) có phương trình là: z = 0 nên Phương tình hình chiếu của (d) lên mp(Oxy) có Phương trình hình chiếu của (d) lên mp(Oxy).

Bài 27 (trang 103 sgk Hình Học 12 nâng cao):

Cho đường thẳng

và mặt phẳng (P): x+y+z-7=0

a) Tìm một vectơ chỉ Phương của d và một điểm trên d.

b) Viết Phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P).

c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp(P).

Lời giải:

a) Đường thẳng d đi qua M₀ (0,8,3) và vectơ chỉ phương là u→=(1,4,2)

b) Mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P) là mặt phẳng đi qua M₀ (0,8,3)∈d và nhận n→=[n₁→,u→] làm vectơ pháp tuyến, trong đó u→=(1,4,2) là chỉ Phương của d, n₁→=(1,1,1) là vectơ pháp tuyến của (P) ta tính được n→=(2,1,-3), nên mặt phẳng cần tìm có phương trình là:

2(x-0)+(y-8)-3(z-3)=0 <=> 2x+y-3z+1=0

c) Hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng(P) là giao tuyến của mp(P) và mp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P). theo câu b, ta có mp(Q) có phương trình: 2x+y-3z+1=0. Vậy Phương trình hình chiếu của d lên mp(P) là:

Bài 28 (trang 103 sgk Hình Học 12 nâng cao):

Xác định vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi phương trình:

d’: là giao tuyến của hai mặt phẳng: (α):x+y-z=0

(α’ ):2x-y+2z=0

Lời giải:

a) đường thẳng d đi qua M₀(1,7,3)và có vectơ chỉ phương u→=(2,1,4) đường thẳng (d’) đi qua M₀‘(3,-1,-2) và có vectơ chỉ phương u’→=6,-2,1)

nên ta tính được

Bài 29 (trang 103 sgk Hình Học 12 nâng cao): Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1, -1, 1) và cắt cả hai đường thẳng sau đây:

Lời giải:

Gọi Δ là đường thẳng cần tìm, ta có Δ =(P)∩(Q), trong đó (P) chứa A và d và (Q) chứa A và d’. đường thẳng d đi qua M_o (1,0,3) và có vectơ chỉ phương u→=(2,1,-1) nên mp(P) đi qua A(1, -1, 1) và nhận [u→,M_oA→ ]=(-3,4,-2) là vectơ pháp tuyến, suy ra mp(P) có phương trình:

-3x+4y-2z+9=0

Tương tự mp(Q) có phương trình: x+y+z-1=0

Vậy Phương trình của Δ là

vậy d và d’ chéo nhau.

b) Thay x, y, z ở phương trình tham số của d vào phương trình (α) ta được: t-3-4t+3+3t=0 <=> 0 = 0 (đúng với ∀t)

Vậy d ⊂ (α) (1)

Thay x, y, z ở phương trình tham số của d vào phương trình (α’ )ta được:

2t+3+4t-6-6t=0 <=> -3=0 (vô nghiệm)

Vậy d // α’ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: d // d’

Bài 30 (trang 103 sgk Hình Học 12 nâng cao): Viết Phương trình đường thẳng song song với d₁, và cắt cả hai đường thẳng d₂ và d₃, biết Phương trình của d₁,d₂,d₃ là:

Lời giải:

Gọi Δ là đường cần tìm, thì Δ=(P)∩(Q);

Trong đó (P) là mặt phẳng chứa d₂ và (P) // d₁

(Q) là mặt phẳng chứa d₃ và (Q) // d₁

d₁,d₂,d₃ lần lượt có các vectơ chỉ phương là: u₁→=(0,4,-1),u₂ →=(1,4,3),u₃ →=(5,9,1)

Ta viết được Phương trình mp(P) là: 16x-y-4z-10=0

Phương trình mp(Q) là: 13x-5y-20z+17=0

Vậy Phương trình của Δ là:

hay Δ có Phương trình tham số là:

Bài 31 (trang 103 sgk Hình Học 12 nâng cao):Cho hai đường thẳng:

a) Chứng tỏ rằng giữa đường thẳng đó chéo nhau:

b) Viết Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với d₁ và d₂.

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁ và d₂.

d) Viết Phương trình vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Lời giải:

a) Đường thẳng (d₁) đi qua M₁ (8,5,8) và có vectơ chỉ phương là u₁→=(1,2,-1)

Đường thẳng (d₂) đi qua M₂ (3,1,1) và có vectơ chỉ phương là u₂→=(-7,2,3)

Ta có: u₁u₂→=(8,4,16);M₂M₁→=(5,4,7) nên u₁u₂→.M₂M₁→=168 ≠ 0, suy ra d₁ và d₂ chéo nhau. (đpcm)

b) Mặt phẳng đi qua O(0, 0, 0) và song song với d₁ và d₂ sẽ nhận vectơ u₁u₂→=(8,4,16) làm vectơ pháp tuyến, nên đường trình của mặt phẳng đó là: 8(x-0)+4(y-0)+16(z-0)=0 <=> 2x+y+4z=0

c) Khoảng cách giữa d₁ và d₂ là:

Bài 32 (trang 104 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (α) có Phương trình:

(α):2x+y+z-8=0

a) Tìm góc giữa d và (α)

b) Tìm tọa độ giao điểm của d và (α).

c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) trên (α)

Lời giải:

a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: u→=(2,3,5)

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là n→=(2,1,1)

Ta có

b) Tọa độ giao điểm của d và (α) là nghiệm của hệ:

c) Hình chiếu vuông góc của d lên (α) là đường thẳng đi qua giao điểm

của d và (α) và nhận vectơ: [[n→,v→ ],n→ ] làm vectơ chỉ phương, trong đó u→=(2,3,5) làm vectơ chỉ phương của (d).

n→=(2,1,1) là vectơ pháp tuyến của (α)

Ta tính được [n→,v→ ]=(-2 ;8; -4), [[n→,v→ ],n→ ]=(12,-6,-18)

Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình là:

Bài 33 (trang 104 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho đường thẳng Δ và mp(P) có phương trình:

(P):2x+z-5=0

a) Xác định tọa độ giao điểm A của Δ và (P).

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc với Δ.

Lời giải:

a) Tọa độ giao điểm A của Δ và (P) là nghiệm của hệ Phương trình:

Vậy A = (1, 2, 3)

b) Đường thẳng đi qua A(1, 2, 3) nằm trong (P) và vuông góc với Δ có vectơ chỉ phương của Δ:n→=(2,0,1) là vectơ pháp tuyến của (α). Ta tính được [[n→,v→ ]]=(2,3,-4). Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là

Bài 34 (trang 104 sgk Hình Học 12 nâng cao):

a) Tính khoảng cách từ điểm M(2, 3, 1) đến đường thẳng Δ có phương trình:

b) Tính khoảng cách từ điểm N(2, 3, -1) đến đường thẳng d di qua điểm

và vectơ chỉ phương u→=(-4,2,-1)

Lời giải:

a) Đường thẳng (d):

đi qua M₀ (-2,1,-1) và có vectơ chỉ phương u→=(1,2,-2).

Khoảng cách từ M(2, 3, 1) đến đường thẳng (d) là:

Với MM₀→=(-4,-2,-2) nên [MM₀→,u→ ]=(8,-10,-6)

Suy ra

Khoảng cách từ N đến đường thẳng d đi qua M₀ và có vectơ chỉ phương u→ là :

Bài 35 (trang 104 sgk Hình Học 12 nâng cao): Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng sau:

Lời giải:

a) Đường thẳng d:

đi qua M(1, -1, 1) và có vectơ chỉ phương n→=(1,−1,0)

Đường thẳng d’:

đi qua M’(2, -2, 3) và có vectơ chỉ phương n’→=(-3,3,0)

Nên ta thấy d // d’

Vậy khoảng cách giữa d và d’ là khoảng cách từ M(1, -1, 1) ∈ d đến đường thẳng d’ và bằng :

Ta có: MN’→=(1,-1,2), suy ra [MN’→,n’→ ]=(-6,-6,0)

Vậy khoảng cách cần tìm là:

b) Đường thẳng d:

đi qua M(0, 4, -1) và có vectơ chỉ phương u→(-1,1,-2)

Khoảng cách giữa (d) và (d’) là:

Comments

comments