[Giải Toán 10] Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình/ Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai

Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 5 trang 100:

1) Xét tam thức bậc hai f(x) = x² – 5x + 4. Tính f(4), f(2), f(-1), f(0) và nhận xét về dấu của chúng.

2) Quan sát đồ thị hàm số y = x² – 5x + 4 (h.32a)) và chỉ ra các khoảng trên đó đồ thị ở phía trên, phía dưới trục hoành.

3) Quan sát các đồ thị trong hình 32 và rút ra mối liện hệ về dấu của giá trị f(x) = ax² + bx + c ứng với x tùy theo dấu của biệt thức Δ = b² – 4ac.

Lời giải

a) f(x) = x² – 5x +4

f(4)= 0; f(2) = -2 < 0; f(-1)= 10 > 0; f(0) = 4 > 0;

b) Với 1 < x < 4 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

Với x < 1 hoặc x > 4 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành.

c) Hình 32a) có Δ > 0 ⇒ f(x) cùng dấu với a khi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm của phương trình f(x) = 0; f(x) trái dấu với a khi x nằm trong khoảng hai nghiệm của phương trình f(x) = 0.

Hình 32b) có Δ = 0 ⇒ f(x) cùng dấu với a, trừ khi x = – b/2a.

Hình 32c) có Δ < 0 ⇒ f(x) cùng dấu với a.

Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 5 trang 103: Xét dấu các tam thức

a) f(x) = 3x² + 2x – 5;

b) g(x) = 9x² – 24x + 16.

Lời giải

a) f(x) = 3x² + 2x – 5 có hai nghiệm phân biệt x = 1; x = -5/3, hệ số a = 3 >0.

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

b) g(x) = 9x² – 24x + 16 = (3x – 4)² > 0 ∀x.

Vậy g(x) > 0 ∀x.

Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 5 trang 103: Trong các khoảng nào

a) f(x) = -2x² + 3x + 5 trái dấu với hệ số của x² ?

b) g(x) = -3x² + 7x – 4 cùng dấu với hệ số của x² ?

Lời giải

a) Với -1 < x < 5/2 thì f(x) trái dấu với hệ số của x²

b) Với x < 1 hoặc x > 4/3 thì g(x) cùng dấu với hệ số của x²

Bài 1 (trang 105 SGK Đại Số 10): Xét dấu các tam thức bậc hai:

a) 5x² – 3x + 1 ;      b) -2x² + 3x + 5

c) x² + 12x + 36 ;      d) (2x – 3)(x + 5)

Lời giải

a) Tam thức f(x) = 5x² – 3x + 1 có Δ = 9 – 20 = –11 < 0 nên f(x) cùng dấu với hệ số a.

Mà a = 5 > 0

Do đó f(x) > 0 với ∀ x ∈ R.

b) Tam thức f(x) = –2x² + 3x + 5 có Δ = 9 + 40 = 49 > 0.

Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = –1; x² = 5/2, hệ số a = –2 < 0

Ta có bảng xét dấu:

Vậy f(x) > 0 khi x ∈ (–1; 5/2)

f(x) = 0 khi x = –1 ; x = 5/2

f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; –1) ∪ (5/2; +∞)

c) Tam thức f(x) = x² + 12x + 36 có một nghiệm là x = –6, hệ số a = 1 > 0.

Ta có bảng xét dấu:

Vậy f(x) > 0 với ∀ x ≠ –6

f(x) = 0 khi x = –6

d) f(x) = (2x – 3)(x + 5) = 2x² + 7x – 15

Tam thức f(x) = 2x² + 7x – 15 có hai nghiệm phân biệt x₁ = 3/2; x₂ = –5, hệ số a = 2 > 0.

Ta có bảng xét dấu:

Vậy f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –5) ∪ (3/2; +∞)

f(x) = 0 khi x = –5 ; x = 3/2

f(x) < 0 khi x ∈ (–5; 3/2)

Kiến thức áp dụng

Tam thức f(x) = ax² + bx + c có Δ = b² – 4ac:

+ Nếu Δ < 0, f(x) cùng dấu với a với ∀ x ∈ R

+ Nếu Δ = 0, f(x) cùng dấu với a với ∀ x ≠ –b/2a.

+ Nếu Δ > 0, f(x) cùng dấu với a nếu x < x1 hoặc x > x²;

f(x) trái dấu với a nếu x₁ < x < x₂; trong đó x₁; x₂ là hai nghiệm của f(x) và x₁ < x₂.

Bài 2 (trang 105 SGK Đại Số 10): Lập bảng xét dấu các biểu thức sau:

a) f(x) = (3x² – 10x + 3)(4x – 5)

b) f(x) = (3x² – 4x)(2x² – x – 1)

c) f(x) = (4x² – 1)(-8x² + x – 3)(2x + 9)

Lời giải

a) f(x) = (3x² – 10x + 3)(4x – 5)

+ Tam thức 3x² – 10x + 3 có hai nghiệm x = 1/3 và x = 3, hệ số a = 3 > 0 nên mang dấu + nếu x < 1/3 hoặc x > 3 và mang dấu – nếu 1/3 < x < 3.

+ Nhị thức 4x – 5 có nghiệm x = 5/4.

Ta có bảng xét dấu:

Kết luận:

f(x) > 0 khi x ∈ (1/3; 5/4) ∪ x ∈ (3; +∞)

f(x) = 0 khi x ∈ {1/3; 5/4; 3}

f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; 1/3) ∪ (5/4; 3)

b) f(x) = (3x² – 4x)(2x² – x – 1)

+ Tam thức 3x² – 4x có hai nghiệm x = 0 và x = 4/3, hệ số a = 3 > 0.

Do đó 3x² – 4x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 4/3 và mang dấu – khi 0 < x < 4/3.

+ Tam thức 2x² – x – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1, hệ số a = 2 > 0

Do đó 2x² – x – 1 mang dấu + khi x < –1/2 hoặc x > 1 và mang dấu – khi –1/2 < x < 1.

Ta có bảng xét dấu:

Kết luận:

f(x) > 0 ⇔ x ∈ (–∞; –1/2) ∪ (0; 1) ∪ (4/3; +∞)

f(x) = 0 ⇔ x ∈ {–1/2; 0; 1; 4/3}

f(x) < 0 ⇔ x ∈ (–1/2; 0) ∪ (1; 4/3)

c) f(x) = (4x² – 1)(–8x² + x – 3)(2x + 9)

+ Tam thức 4x² – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1/2, hệ số a = 4 > 0

Do đó 4x² – 1 mang dấu + nếu x < –1/2 hoặc x > 1/2 và mang dấu – nếu –1/2 < x < 1/2

+ Tam thức –8x² + x – 3 có Δ = –47 < 0, hệ số a = –8 < 0 nên luôn mang dấu –.

+ Nhị thức 2x + 9 có nghiệm x = –9/2.

Ta có bảng xét dấu:

Kết luận:

f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –9/2) ∪ (–1/2; 1/2)

f(x) = 0 khi x ∈ {–9/2; –1/2; 1/2}

f(x) < 0 khi x ∈ (–9/2; –1/2) ∪ (1/2; +∞)

+ Tam thức 3x² – x có hai nghiệm x = 0 và x = 1/3, hệ số a = 3 > 0.

Do đó 3x² – x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 1/3 và mang dấu – khi 0 < x < 1/3.

+ Tam thức 3 – x² có hai nghiệm x = √3 và x = –√3, hệ số a = –1 < 0

Do đó 3 – x² mang dấu – khi x < –√3 hoặc x > √3 và mang dấu + khi –√3 < x < √3.

+ Tam thức 4x² + x – 3 có hai nghiệm x = –1 và x = 3/4, hệ số a = 4 > 0.

Do đó 4x² + x – 3 mang dấu + khi x < –1 hoặc x > 3/4 và mang dấu – khi –1 < x < 3/4.

Ta có bảng xét dấu:

Kết luận:

f(x) > 0 ⇔ x ∈ (–√3; –1) ∪ (0; 1/3) ∪ (3/4; √3)

f(x) = 0 ⇔ x ∈ {±√3; 0; 1/3}

f(x) < 0 ⇔ x ∈ (–∞; –√3) ∪ (–1; 0) ∪ (1/3; 3/4) ∪ (√3; +∞)

f(x) không xác định khi x = -1 và x = 3/4.

Kiến thức áp dụng

Tam thức f(x) = ax² + bx + c có Δ = b² – 4ac:

+ Nếu Δ < 0, f(x) cùng dấu với a với ∀ x ∈ R

+ Nếu Δ = 0, f(x) cùng dấu với a với ∀ x ≠ –b/2a.

+ Nếu Δ > 0, f(x) cùng dấu với a nếu x < x1 hoặc x > x²;

f(x) trái dấu với a nếu x₁ < x < x₂; trong đó x₁; x₂ là hai nghiệm của f(x) và x₁ < x₂.

Bài 3 (trang 105 SGK Đại Số 10): Giải các bất phương trình sau

a) 4x² – x + 1 < 0

b) -3x² + x + 4 ≥ 0

c)

d) x² – x – 6 ≤ 0

Lời giải

a) 4x² – x + 1 < 0

Cách 1:

Xét tam thức f(x) = 4x² – x + 1 có Δ = -15 < 0; a = 4 > 0 nên f(x) > 0 ∀x ∈ R

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

Cách 2:

với ∀x ∈ R.

Vậy bất phương trình 4x² – x + 1 < 0 vô nghiệm.

b) -3x² + x + 4 ≥ 0

Xét tam thức f(x) = -3x² + x + 4 có hai nghiệm x = -1 và x = 4/3, hệ số a = -3 < 0.

Do đó f(x) ≥ 0 khi -1 ≤ x ≤ 4/3.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: T = [-1; 4/3]

c) Điều kiện xác định

+ Nhị thức x + 8 có nghiệm x = -8

+ Tam thức x² – 4 có hai nghiệm x = 2 và x = -2, hệ số a = 1 > 0

Do đó x² – 4 mang dấu + khi x < -2 hoặc x > 2 và mang dấu – khi -2 < x < 2.

+ Tam thức 3x² + x – 4 có hai nghiệm x = 1 và x = -4/3, hệ số a = 3 > 0.

Do đó 3x² + x – 4 mang dấu + khi x < -4/3 hoặc x > 1

mang dấu – khi -4/3 < x < 1.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thấy

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: T = (-∞; -8) ∪ (-2; -4/3) ∪ (1; 2)

d) x² – x – 6 ≤ 0

Xét tam thức f(x) = x² – x – 6 có hai nghiệm x = -2 và x = 3, hệ số a = 1 > 0

Do đó f(x) ≤ 0 khi -2 ≤ x ≤ 3.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: T = [-2; 3]

Kiến thức áp dụng

Tam thức f(x) = ax² + bx + c có Δ = b² – 4ac:

+ Nếu Δ < 0, f(x) cùng dấu với a với ∀ x ∈ R

+ Nếu Δ = 0, f(x) cùng dấu với a với ∀ x ≠ –b/2a.

+ Nếu Δ > 0, f(x) cùng dấu với a nếu x < x1 hoặc x > x²;

f(x) trái dấu với a nếu x₁ < x < x₂; trong đó x₁; x₂ là hai nghiệm của f(x) và x₁ < x₂.

Bài 4 (trang 105 SGK Đại Số 10): Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm

a) (m – 2)x² + 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0

b) (3 – m)x² – 2(m + 3)x + m + 2 = 0

Lời giải

a) (m – 2)x² + 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0 (1)

– Nếu m – 2 = 0 ⇔ m = 2, khi đó phương trình (1) trở thành:

2x + 4 = 0 ⇔ x = -2 hay phương trình (1) có một nghiệm

Do đó m = 2 không phải là giá trị cần tìm.

– Nếu m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ta có:

Δ’ = (2m – 3)² – (m – 2)(5m – 6)

= 4m² – 12m + 9 – 5m² + 6m + 10m – 12

= -m² + 4m – 3 = (-m + 3)(m – 1)

(1) vô nghiệm ⇔ Δ’ < 0 ⇔ (-m + 3)(m – 1) < 0 ⇔ m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞)

Vậy với m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞) thì phương trình vô nghiệm.

b) (3 – m)x² – 2(m + 3)x + m + 2 = 0 (2)

– Nếu 3 – m = 0 ⇔ m = 3 khi đó (2) trở thành -6x + 5 = 0 ⇔ x = 5/6

Do đó m = 3 không phải là giá trị cần tìm.

– Nếu 3 – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 ta có:

Δ’ = (m + 3)² – (3 – m)(m + 2)

= m² + 6m + 9 – 3m – 6 + m² + 2m

= 2m² + 5m + 3 = (m + 1)(2m + 3)

(2) vô nghiệm ⇔Δ’ < 0⇔ (m + 1)(2m + 3) < 0 ⇔ m ∈ (-3/2; -1)

Vậy với m ∈ (-3/2; -1) thì phương trình vô nghiệm.

Kiến thức áp dụng

+ Phương trình dạng ax + b = 0 vô nghiệm khi a = 0 và b ≠ 0.

+ Phương trình bậc hai dạng ax² + bx + c = 0 vô nghiệm khi Δ = b2 – 4ac < 0 hoặc Δ’ = (b/2)² – ac < 0.

Comments

comments