[Giải Toán 10] Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình/ Bài 1: Bất đẳng thức

Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 1 trang 74: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng

a) 3,25 < 4;

b) -5 > -4 1/4;

c) -√2 ≤ 3 ?

Lời giải

Mệnh đề đúng là a) 3,25 < 4 và c) -√2 ≤ 3

Mệnh đề sai là b) -5 > -4 1/4

Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 1 trang 74: Chọn dấu thích hợp (=, <, >) để khi điền vào chỗ trống ta được một mệnh đề đúng.

a) 2√2 (…..) 3;

b) 4/3 (…..) 2/3;

c) 3 + 2√2 (…..) (1 + √2)²;

d) a² + 1 (…..) 0 với a là một số đã cho.

Lời giải

a) 2√2 < 3

b) 4/3 > 2/3

c) 3 + 2√2 = (1 + √2)²

d) a² + 1 > 0 với a là một số đã cho.

Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 1 trang 75: Chứng minh rằng a < b ⇔ a – b < 0.

Lời giải

a < b ⇔ a + (-b) < b +(-b) ⇔ a – b ≤ 0

Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 1 trang 75: Nêu ví dụ áp dụng một trong các tính chất trên.

Lời giải

x < 3 ⇔ -2x > -6

Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 1 trang 78: Hãy chứng minh hệ quả 3.

Lời giải

Từ bất đẳng thức Cô- si:

√xy ≤ (x + y)/2 ⇔ x + y ≥ 2√xy với x,y > 0

Dấu bằng xảy ra khi x = y

Do tích ab không đổi nên 2√xy không đổi ⇒ Tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y

Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 1 trang 78:

Nhắc lại định nghĩa giá trị tuyệt đối và tính giá trị tuyệt đối của các số sau:

a) 0;

b) 1,25;

c) (-3)/4;

d) -π.

Lời giải

Giá trị tuyệt đối của một số là khoảng cách của số đó đến điểm 0 trên trục số nằm ngang.

|0| = 0;       |1,25| = 1,25;

|(-3)/4| = 3/4;       |-π| = π

Bài 1 (trang 79 SGK Đại Số 10): Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của x?

a) 8x > 4x ;     b) 4x > 8x

c) 8x² > 4x² ;     d) 8 + x > 4 + x

Lời giải

a) chỉ đúng khi x > 0 (hay nói cách khác nếu x < 0 thì a) sai)

b) chỉ đúng khi x < 0

c) chỉ đúng khi x ≠ 0

d) đúng với mọi x.

Vậy khẳng định d là đúng với mọi giá trị của x.

Bài 2 (trang 79 SGK Đại Số 10): Cho số x > 5, số nào trong các số sau đây là số nhỏ nhất?

Lời giải

Với mọi x ≠ 0 ta luôn có: hay C < A < B.

Lại có x > 5 ⇒ x² > 5² (Bình phương hai vế)

⇒ (Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với )

Vậy ta có C < A < B và C < A < D nên trong bốn số trên, C là số nhỏ nhất.

Kiến thức áp dụng

+ Cộng cả hai vế của BĐT với một số bất kì, bất đẳng thức không đổi chiều

     a < b ⇔ a + c < b + c

+ Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa bậc chẵn:

     0 < a < b ⇔ a²ⁿ < b²ⁿ với mọi n ∈ N*.

+ Nhân cả hai vế của BĐT với một số dương thì BĐT không đổi chiều:

     a < b ⇔ a.c < b.c với mọi c > 0.

Bài 3 (trang 79 SGK Đại Số 10): Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

a) Chứng minh (b – c)² < a²

b) Từ đó suy ra: a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca)

Lời giải

a) Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

⇒ a + c > b và a + b > c (Bất đẳng thức tam giác)

⇒ a + c – b > 0 và a + b – c > 0

Ta có: (b – c)² < a²

⇔ a² – (b – c)² > 0

⇔ (a – (b – c))(a + (b – c)) > 0

⇔ (a – b + c).(a + b – c) > 0 (Luôn đúng vì a + c – b > 0 và a + b – c > 0).

Vậy ta có (b – c)² < a² (1) (đpcm)

b) Chứng minh tương tự phần a) ta có :

( a – b)² < c² (2)

(c – a)² < b² (3)

Cộng ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có:

(b – c)² + (c – a)² + (a – b)² < a² + b² + c²

⇒ b² – 2bc + c² + c² – 2ca + a² + a² – 2ab + b² < a² + b² + c²

⇒ 2(a² + b² + c²) – 2(ab + bc + ca) < a² + b² + c²

⇒ a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca) (đpcm).

Bài 4 (trang 79 SGK Đại Số 10): Chứng minh rằng:

     x³ + y³ ≥ x²y + xy², ∀x, y ≥ 0

Lời giải

Ta có: x3 + y3 ≥ x²y + xy²

⇔ (x3 + y3) – (x²y + xy²) ≥ 0

⇔ (x + y)(x² – xy + y²) – xy(x + y) ≥ 0

⇔ (x + y)(x² – xy + y² – xy) ≥ 0

⇔ (x + y)(x² – 2xy + y²) ≥ 0

⇔ (x + y)(x – y)² ≥ 0 (Luôn đúng vì x + y ≥ 0 ; (x – y)² ≥ 0)

Dấu « = » xảy ra khi (x – y)² = 0 ⇔ x = y.

Kiến thức áp dụng

+ Lũy thừa bậc chẵn của mọi số luôn ≥ 0.

     A²ⁿ ≥ 0 với mọi A và n ∈ N*

Bài 5 (trang 79 SGK Đại Số 10): Chứng minh rằng:

      x⁴ – √x⁵ + x – √x + 1 > 0, ∀ x ≥ 0

Lời giải

Đặt t = √x (điều kiện t ≥ 0), khi đó

x⁴ – √x⁵ + x – √x + 1 = (√x)⁸ – (√x)⁵ + (√x)² – (√x) + 1 = t⁸ – t⁵ + t² – t + 1

Ta cần chứng minh : t⁸ – t⁵ + t² – t + 1 > 0

Cách 1 (theo hướng dẫn ở đề bài).

+ Xét 0 ≤ t < 1 ⇒ t³ < 1 ⇒ 1 – t³ > 0 ; 1 – t > 0

t⁸ – t⁵ + t² – t + 1 = t⁸ + (t² – t⁵) + (1 – t)

                              = t⁸ + t².(1 – t³) + (1 – t)

                              > 0 + 0 + 0 = 0

+ Xét t ≥ 1 ⇒ t³ ≥ 1 ⇒ t³ – 1 ≥ 0 và t – 1 ≥ 0.

t⁸ – t⁵ + t² – t + 1 = t⁵.(t³ – 1) + t.(t – 1) + 1

                              ≥ 0 + 0 + 1 > 0

Vậy với mọi t ≥ 0 thì t⁸ – t⁵ + t² – t + 1 > 0 hay x⁴ – √x⁵ + x – √x + 1 > 0, ∀ x ≥ 0 (đpcm)

Cách 2:

2.(t⁸ – t⁵ + t² – t + 1) = t⁸ + t⁸ – 2t⁵ + t² + t² – 2t + 1 + 1

                              = t⁸ + (t⁴ – t)² + (t – 1)² + 1.

                              ≥ 0 + 0 + 0 + 1 = 1.

(Vì t⁸ ≥ 0 ; (t⁴ – t)² ≥ 0; (t – 1)² ≥ 0)

⇒ t⁸ – t⁵ + t² – t + 1 ≥ 1/2 > 0 hay x⁴ – √x⁵ + x – √x + 1 > 0, ∀ x ≥ 0 (đpcm)

Bài 6 (trang 79 SGK Đại Số 10): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 1. Xác định tọa độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Lời giải

Gọi tiếp điểm của AB và đường tròn tâm O, bán kính 1 là M, ta có: OM ⊥ AB.

ΔOAB vuông tại O, có OM là đường cao nên MA.MB = MO² = 1 (hằng số)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

MA + MB ≥ 2√MA.MB = 2. √1 = 2

Dấu « = » xảy ra khi MA = MB = 1.

Khi đó OA = √(MA² + MO²) = √2 ; OB = √(OM² + MB²) = √2.

Mà A, B nằm trên tia Ox và Oy nên A(√2; 0); B(0; √2)

Vậy tọa độ là A(√2, 0) và B(0, √2).

Comments

comments