Đại số – Chương 4 – Câu hỏi và bài tập ôn tập cuối năm – Bài tập tự luận

Bài 1 (trang 211 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a) Chứng minh rằng hàm số f(x) = e²-x-1 đồng biến trên nửa khoảng [0; +∞)

b) Từ đó suy ra e^x>x+1 với mọi x > 0

Lời giải:

a) Ta có: f’(x) = (e^x-x-1)’=e^x-1

f’ (x)≥0 <=> e^x-1≥0 <=> e^x≥1 <=> x ≥0

Vậy f(x) đồng biến trên [0; +∞)

b) Vì f(x) = e^x-x-1 đồng biến trên [0; +∞) nên:

f(x)>f(0)với mọi x > 0, mà f(0) = 0 nên ta có:

f(x)>0 <=> e^x-x-1>0 <=> e^x>x+1 (đpcm)

Bài 2 (trang 211 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số f(x) =2x³-3x²-12x-10=0

b) Chứng minh rằng Phương trình 2x³-3x²-12x-10=0 có nghiệm thực duy nhất.

c) Gọi nghiệm duy nhất của Phương trình là α.

Chứng minh rằng: 3,5<α<3,6

Lời giải:

a) Tập xác định: R

f’ (z)=6x²-6x-12;f(x)=0 <=> x=-2 ;x=2

f” (x)=12x-6;f” (x)=0 <=> x=1/2

Bảng biến thiên

Đồ thị

b) Nhìn vào đồ thị của hàm số y = 2x³-3x²-12x-10=0 ta thấy đồ thị chỉ cắt Ox tại 1 điểm duy nhất, nên phương trình:

2x³-3x²-12x-10=0 có 1 nghiệm duy nhất.

c) Xét f(x) = 2x³-3x²-12x-10. Ta có f(3; 5); f(3; 6) < 0 mà f(x) là hàm liên tục nên f(x) có một nghiệm α ∈(3,5;3,6)(đpcm)

Bài 3 (trang 211 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Gọi C là đồ thị hàm số của y = lnx và D là một tiếp tuyến bất kì của C. chứng minh rằng trên (0; +∞), C nằm ở phía dưới của đường thẳng D.

nên đồ thị hàm số y = lnx lồi trên (0; +∞) nên đường tiếp tuyến D luôn nằm trên đồ thị C. (đpcm)

Lời giải:

Bài 4 (trang 212 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in được 3600 bản trong một giờ. Chi phí để vận hành một trong mỗi lần là 50 nghìn đồng. chi phí cho n máy chạy trong một giờ là 10(6n +10) nghìn đồng. Hỏi nếu in 50000 tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy để được lãi nhiều nhất.

Lời giải:

Giả sử dụng máy n máy để in (n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8)

Khi đó, tổng chi phí để in 50000 tờ quảng cáo là:

Bảng biến thiên của f(n)

Để ta được lãi nhiều nhất thì tổng chi phí phải là ít nhất.

Vậy ta cần tìm n ∈{1;2;3;4;5;6;7;8} để f(n) nhỏ nhất. ta có f(5) < f(6), kết hợp với bảng biến thiên của f(n) thì khi n = 5 tổng chi phí sẽ bé nhất.

Vậy nên chọn 5 máy.

Bài 5 (trang 121 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Lời giải:

Theo giả thiết ta có: log_a⁡b=√3 => b = a^√3

Bài 8 (trang 212 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a) Tính đạo hàm của các hàm số: y=cosx.e²tanx và y=log₂(sin⁡x)

b) Chứng minh rằng hàm số y=e_4x+2.e^-x thõa mãn hệ thức.

y”’-13y’-12y=0

Lời giải:

b) Ta có: y’=(e_4x+2e^-x=4e_4x-2e^-x

y”=(4e_4x-2e^-x )’=16e_4x+2e^-x

y”’=(4e_4x-2e^-x )’=64e_4x-2e^-x

Vậy y”’-13y’-12y=64e_4x-2e^-x-13(16e_4x+2e^-x )-12(4e_4x-2e^-x)

=64e_4x-2e^-x-52e_4x+26e^-x-12e_4x-24e^-x=0 (đpcm)

Bài 9 (trang 212 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a) Vẽ đồ thị của hàm số y=2^x,y=(√2)^x;y=(√3)^x trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Hãy nhận xét vị trị tương đối của ba đồ thị.

b) Vẽ đồ thị y=log₃x. Từ đó suy ra đồ thị của hàm số y=2+log₃⁡x và đồ thị của hàm số y=log₃(x+2)

Lời giải:

a) Vẽ đồ thị các hàm số: y=2^x,y=(√2)^x;y=(√3)^x

nhận xét:

Trong khoảng (-∞;0) đồ thị sắp xếp theo thứ tự từ trên xuống dưới là: ,y=(√2)^x;y=(√3)^x;y=2^x

Đồ thị cả ba hàm số đi qua điểm (0; 1)

Khoảng (0; +∞) đồ thị sắp xếp theo thứ tự từ trên xuống dưới là:

y=2^x,y=(√3)^x;y=(√2)^x

Như vậy “độ dốc” của đồ thị hàm số tăng theo giá trị cơ số:

√2<√3<2

b) Vẽ đồ thị hàm số y=log₃⁡x (C )

Đồ thị hàm số y = 2 + log₃x có được bằng cách tịnh tiến (C) lên trên theo phương Oy 2 đơn vị.

Đồ thị hàm số y=log₃x+2 có được bằng cách tính tiến (C) sang bên trái theo phương Ox 2 đơn vị.

Bài 10 (trang 212 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Giải các phương trình sau:

Lời giải:

a) Phương trình: 81^sin2⁡x + 81^cos2x =30 <=> 81^sin2⁡x + 81^1-sin2⁡x =30

Đặt t=81^sin2⁡x ,t>0, ta có Phương trình: t+81/t=30

<=> t²-30t+81=0 <=> t = 27; t = 3

Với t = 27 => 81^sin2⁡x =27 <=> 3^{4 sin2⁡x}=3³ <=> 4 sin²x=3

Vậy Phương trình đã cho có 4 họ nghiệm:

b) Đặt log_1/2⁡x=t với x > 0, ta có Phương trình.

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 2; x = 1/16

c) Đặt log⁡x=t ta có phương trình:

Ta có phương trình:

Vậy Phương trình có 1 nghiệm

Thay y=1/3x vào (1) ta được.

Với x = 2 => y=1/6. Vậy hệ có 1 nghiệm là

Bài 11 (trang 213 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Tập hợp xác định của các hàm số sau:

Lời giải:

a) Hàm số y=log⁡(1-log⁡(x²-5x+16)) xác định khi:

<=> x²-5x+6<0 <=> x ∈(2;3)

Vậy tập xác định của hàm số là khoảng (2; 3)

Bài 12 (trang 213 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Tìm họ nguyên hàm của mỗi hàm số sau trên khoảng xác định của nó.

Lời giải:

a) Tìm F(x) = ∫x³(1+x⁴ )³. Đặt u=1+x⁴ => du = 4x³ dx

b) Tìm F(x) = ∫cosx.sin2x dx=2 ∫cos²⁡x.sinxdx

Đặt cosx = u => -sinxdx=du. Ta có:

Bài 13 (trang 213 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Tìm hàm số f(x) biết

Lời giải:

Bài 14 (trang 213 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Tính các tích phân sau:

Lời giải:

c) Theo công thức tích phân từng phần, ta có:

Bài 15 (trang 214 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Tính diệ tích hình phẳng giới hạn bởi các đường.

a) y+x²=0 và y+3x²=2

b) y²-4x=4 và 4x-y=16

Lời giải:

a) Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng: y=-x² và y=-3x²+2 là nghiệm của Phương trình: -x²=-3x²+2 <=> x²=1 <=> x=±1

Vậy diện tích cần tìm là:

b) Diện tích cần tìm là S=S₁-S₂ (hình vẽ)

Hai đường đã cho cắt nhau tại hai điểm có hoành độ là 3 và 21/4

S₁ là diện tích hình phẳn giới hạn bởi đường y²-4x-4=0 và đường thẳng x=21/4

Ta có:

S₂ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường: y²=4x+4;y=4x-16 và x=21/4

Ta có:

Bài 16 (trang 213 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a) Cho hình thang cong A giới hạn bởi đồ thị hàm số y=e^x, trục hoành và các đường thẳng x = 0 và x = 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A quang trục hoành.

b) Cho hình phẳng B giới hạn bởi parabol y=x²+1 và đường thẳng y = 2. Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay B quanh trục tung.

Lời giải:

a) Thể tích cần tìm là:

b) Thể tích cần tìm là:

Bài 17 (trang 213 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Cho các số phức z₁=1+i;z₂=1-2i. Hãy tính và biểu diễn hình học các số phức: z₁²;z₁ z₂,2z₁-z₂,z₁.Z²−;và z₂/z₁ .

Lời giải:

Ta có: z₁²=(1+i)²=1+2i+i²=1+2i-1=2i

z₁ z₂=(1+i)(1-2i)=1+2+i-2i=3-i

2z₁-z₂=2(1+i)-(1-2i)=1+4i

z₁.¯(z₂ )=(1+i)(1+2i)=-1+3i

Các điểm A, B, C, D, D lần lượt biểu diễn các số:

Bài 18 (trang 214 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Tính

a) (√3+i)²-(√3-i)²

b) (√3+i)²+(√3-i)²

c) (√3+i)³-(√3-i)³

Lời giải:

a) (√3+i)²-(√3-i)²=(3+2 √3 i-1)-(3-2 √3 i-1)=4 √3 i

b) (√3+i)²+(√3-i)²=(3+2 √3 i-1)+(3-2 √3 i-1)=4

c) (√3+i)³-(√3-i)³=(3 √3+9i-3 √3-i)-(3 √3-9i-3 √3+i)=16i

Bài 19 (trang 214 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a) Xác định phần thực của số phức

b) Chứng minh rằng nếu

Lời giải:

a) Giả sử z=a+bi với a²+b²=1 và a+bi ≠ 1

(vì a²+b²=1=>(a+1)(a-1)+b²=0)

Vậy số phức (z+1)/(z-1) có phần thực bằng 0.

b) Theo câu a, ta có:

Nên (z+1)/(z-1) là số ảo thì a²+b²-1=0 <=> a²+b²=1 <=> |z| = 1 (đpcm)

Comments

comments