Bài 37 (trang 208 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
Lời giải:
a) Ta có: (2-3i)3=8-36i-54+27i=-46-9i có phần thực là -46 và phần ản là -9
b) Ta có số
c) Ta có: (x+iy)2-2(x+iy)+5=(x2-y2-2x+5)+(2xy-2y)i có phần thức là: (x2-y2-2x+5), có phần ảo là: (2xy-2y).
Để z là số thực thì: (2xy-2y)=0 <=> y = 0 hoặc x = 1.
Bài 38 (trang 209 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
Chứng minh rằng nếu
là số thực (giả sử 1 zw ≠ 0
Lời giải:
Giả sử z=z+bi,w=a’+b’i với a2+b2=a’2+b’2=1 và 1+zw ≠ 0
Vì |z| = 1 nên z.z−=1
Khi đó, ta có:
Xét phần ảo ở trên tử số ta có: (b+b’ )(1+aa’-bb’ )-(a+a’ )(a’ b+ab’ )
=b+baa’-b2b’+b’+b’ aa’-bb’2-aa’ b-a2 b’-a’2 b-a’ab’
=b+b’-b’ (a2+b2 )-b(b’2+a’2 )=b+b’-b’-b=0
Bài 39 (trang 209 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
Giải các phương trình:
Lời giải:
a) Đặt z+3-i=t, ta có phương trình: t2-6t+13=0
Có δ’=-4=(2i)2=>t1=3+2i;t2=3-2i
Với t1=3+2i=>z+3-i=3+2i=>z=3i
Với t2=3-2i=>z+3-i=3-2i=>z=-i
Vậy phương trình có 2 nghiệm là: 3i; -i
ta có phương trình: t2-3t-4=0
=> t1=-1;t2=4
Vậy phương trình có hai nghiệm là:
c) (z2+1)2+(z+3)2=0
<> (z2+1)2=-(z+3)2 <> (z2+1)2=[(z+3)i]2
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là:
Bài 40 (trang 209 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
Giải các phương trình:
Lời giải:
a) Đặt z+3-i=t, ta có Phương trình: t2-6t+13=0
Có Δ’=-4=(2i)2=>t1=3+2i;t2=3-2i
Với t1=3+2i=>z+3-i=3+2i=>z=3i
Với t2=3-2i=>z+3-i=3-2i=>z=-i
Vậy phương trình có 2 nghiệm là: 3i; -i
b) Đặt (iz+3)/(z-2i)=t, ta có Phương trình: t2-3t-4=0
t1=-1;t2=4
Vậy phương trình có hai nghiệm là:
c) (z2+1)2+(z+3)2=0
<=> (z2+1)2=-(z+3)2 <=> (z2+1)2=[(z+3)i]2
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là:
Bài 41 (trang 209 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
Cho z=(√6+√2)+i(√6-√2)
a) Viết z2 dưới dạng đại số và lượng giác.
b) Từ câu a hãy suy ra dạng lượng giác của z.
Lời giải:
a) Ta có z2=(√6+√2)2+(√6-√2)2+2i(√6+√2)(√6-√2)=8 √3+8i
Mặt khác:
b) Ta có z là một căn bậc hai của z2 nên
Bài 42 (trang 209 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
a) Bằng cách biểu diễn hình học các số phức 2+i;3+i hãy chứng minh rằng nếu
b) Bằng cách biểu diễn hình học các số phức 2+i;5+i;8+i hãy chứng minh rằng nếu
Lời giải:
a) Số z = 2 + I có một acgumen là a với tana = 1/2;
Số z’ = 3 +I có số acgumen là b với tanb=1/3
b) Số z1=2+i có acgumen là a với tana = 1/2
z2=5+i có một acgumen là b với tanb = 1/5
z3=8+i có một acgumen là c với tanc = 1/8
