Bài 27 (trang 205 sgk Giải Tích 12 nâng cao)
Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức: z−; -z;1/z;kz (k ∈R^*) trong mỗi trường hợp sau:
a) z=r(cosφ+isin φ)(r>0)
b) z=1+i √3
Lời giải:
a) Ta có: z−=r(cosφ-isin φ)
-z=-r(cosφ+isin φ)=r(cos(φ+π)+isin (φ+π)
Kz là một số phức có modun là |Kz| = |K|. |z| = |K|.r, có acgumen là φ nếu K > 0, là φ+π nếu k < 0.
Vậy Kz = |K|.r(cosφ+isin φ) nếu k > 0
KZ = |K|r. (cos(φ+π)+isin (φ+π) nếu k > 0
Bài 28 (trang 205 sgk Giải Tích 12 nâng cao)
Viết Phương trình sau dưới dạng lượng giác.
a) 1-i √3; 1+i; (1-i √3)(1+i);(1-√3 i)/(1+i )
b) 2i(√3-i)
c) 1/(2+2i)
d) z=sinα+cosα (α ∈R)
Lời giải:
Bài 29 (trang 206 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn (1+i)19 và công thức Moa-vrơ để tính:
Lời giải:
Theo nhị thức Nui tơn ta có:
Nên công thức Moa- vrơ ta có:
So sánh (1) và (2) ta có:
Bài 30 (trang 206 sgk Giải Tích 12 nâng cao)
Gọi M, M’ là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số z=3+i;z’=(3-√3)+(1+3√3)i
a) Tính z’/z
b) Chứng minh rằng hiệu số acgumen của z’ với acguemn của z là một số đo của góc lượng giác (OM, OM’). Tính số đo đó.
Lời giải:
Từ (1) và (2) ta có: cos(α’-α)=cos(OM,OM’) nên kí hiệu α’-α là một số đo của góc lượng giác (OM, OM’) và số đo là
Bài 31 (trang 206 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
Cho các số phức
a) Chứng minh rằng
là các nghiệm của Phương trình z3-w=0
b) Biểu thức số học các số phức z0;z1;z2
Lời giải:
Vậy z03-w=0 hay z0 là một nghiệm của Phương trình: z3-w=0
Vậy z2 cũng là một nghiệm của Phương trình z3-w=0
b) Các điểm A, B, C lần lượt biểu diễn các số:
nhận xét: ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác đều.
