1. Định nghĩa
Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoản của R ). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x), ∀x ∈ K.
2. Các định lí
– Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
– Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C , C là hằng số.
Họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K kí hiệu là:
– Mọi hàm số f(x) lien tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1. ∫0dx=C, ∫dx= ∫1dx=x+C ;
4. Với k là hằng số khác 0
4. Các phương pháp tìm nguyên hàm
– Phương pháp biến đổi số
Định lí. Nếu ∫f(u)du=F(u)+C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì ∫f(u(x)).u'(x)dx=F(u(x))+C .
Hệ quả. Nếu u = ax+b, a≠0 thì ta có
– Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần
Định lí. Nếu hai hàm số u = u(x) và và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:
∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫u'(x)v(x)dx hay ∫udv=vu-∫vdu .
