Bài tập (trang 129-130 sgk Hình Học 12 nâng cao)

Đề số 1 (trang 129 sgk Hình Học 12 nâng cao):

Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy bằng a, và cạnh bên bằng a√2.

a) Tính thể tích của hình chóp đã cho.

b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

c) Gọi A’ và C lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và Sc. Chứng minh rằng hình chóp A’.ABCD và C’CBAD bằng nhau.

Câu 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(4; -1; 2); B(1; 2; 2), C(1; -1; 5)

a) Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.

b) Viết Phương trình mp(ABC). Tính thể tích khối tứ diện giới hạn bởi mp(ABC) và các mặt phẳng tọa độ.

c) Viết phương trình trục của đường tròn ngoại tiếp ΔABC

d) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là tứ diện đều.

Lời giải:

Câu 1:

a) Gọi H là tâm của hình vuông ABCD

Ta có SH ⊥ (ABCD)

b) Gọi O là giao điểm của SH và và đường trung trực cạnh SA, suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD.

Ta có: SO.SH=SA’.SA (A’ là trung điểm SA)

c) Ta thấy hai hình chóp A’.ABCD và C’.ABCD đối xứng với nhau qua mp(SBD) nên chúng bằng nhau. (đpcm)

Câu 2:

a) Ta có AB = AC = BC = 3√2 nên tam giác ABC là tam giác đều.

b) Mp(ABC) là mặt phẳng đia qua A(4; -1; 2) và nhận [AB→,AC→ ]=(9;9;9) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là: x+y+z-5=0

Mặt phẳng (ABC) cắt trục tọa độ lần lượt tại:

M(5; 0; 0); N(0; 5; 0), P(0; 0; 5)

Thể tích khối chóp OMNP là:

c) Trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC và vuông góc với mp(ABC). Tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm M thõa mãn MA = MB = MC

Vậy trục của đường tròn là đường thẳng đi qua M(2; 0; 3) và nhận vectơ [AB→,AC→ ]=(9;9;9) làm vectơ chỉ phương nên có Phương trình là:

d) Để ABCD là tứ diện đều thì D nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp ΔABC và DA = AB = 3√2

Vì D nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp ΔABC nên tọa độ của D có dạng: D(2+t; t; 3+t).

Vì DA = 3√2 <=> DA²=18 <=>(2-t)²+(1+t)²+(1+t)²=18

<=> 3t²=12 => t²=4 => t=±2

Với t = 2 => D(4; 2; 5); với t = -2=> D(0; -2; 1)

Vậy có hai điểm D thỏa mãn bài toán.

Đề số 2 (trang 129 sgk Hình Học 12 nâng cao):

Câu 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, AD.

a) Chứng minh rằng 6 điểm B, C, D, B’, C’, D’ nằm trên một mặt cầu.

b) Tính thể tích khối chóp D.BCC’B’

Câu 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(2; 0; 0); A’(6; 0; 0), B(0; 3; 0); B’(0; 4; 0); C(0; 0; 4); C’(0; 0; 3).

a) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 bốn điểm A, A’, B, C. chứng minh rằng: B’ và C’ cùng nằm trên mặt cầu đó.

b) Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC, trọng tâm G của ΔA’B’C’ cùng nằm trên một đường thẳng đi qua O. Viết Phương trình đường thẳng đó.

c) Tính khoảng cách từ điểm O tới giao điểm của mp(ABC’) và (A’B’C)

Lời giải:

Câu 1:

Gọi H là tâm của ΔBCD, khi đó AH ⊥ (BCD) và AH là trục đường tròn ngoại tiếp ΔB’C’D’

a) Gọi M là trung điểm BB’ và O là giao điểm của đường thẳng AH với đường trung trực OM của cạnh BB’.

Khi đó ta có:

=> O cách đều 6 điểm B, C, D, B’, C’, D’ hay O là tâm mặt cầu đi qau B, C, D, B’, C’, D’. bán kính mặt cầu là R = OB.

Ta có:

Mặt khác tam giác vuông AMO đồng dạng tam giác vuông AHB

c) Tính V_(D.BCC.B.). khoảng cách từ D đến mo(ABC) cũng bằng đoạn AH (vì tứ diện ABCD đều).

Diện tích hình thang cân B’C’CB là

Vậy thể tích khối chóp D.BCC’B’ là:

Câu 2:

a) Gọi Phương trình mặt cầu đi qua A, A’, B, C là:

x²+y²+z²+ax+by+cz+d=0

Vì mặt cầu đi qau A(2; 0; 0); A’(6; 0; 0); B(0; 3; 0), C(0; 0; 4) nên ta có hệ:

Vậy Phương trình mặt cầu là: x²+y²+z²-8x-7y-7z+12=0

Thay tọa độ điểm B’ và C và phương trình mặt cầu thấy thõa mãn. (đpcm)

b) Trực tâm H của ΔABC là

Trọng tâm G của ΔA’B’C’ là

Suy ra phương trình đường thẳng HG là:

Đường thẳng này đi qua O(0; 0; 0). Vậy H, G, O thẳng hàng.

c) Phương trình mp(ABC’) là:

Phương trình mp(A’B’C’) là:

Phương trình giao tuyến của Δ của (ABC’) và (A’B’C’) là:

và có vectơ chỉ phương u→=(0; -5;5)

Khoảng cách từ O đến Δ là

Đề số 3 (trang 130 sgk Hình Học 12 nâng cao):

Câu 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi N là điểm nằm trên cạnh AB, vì (α) là mặt phẳng đi qua 3 bốn điểm D, N, B’.

a) Mp(α) cắt hình hộp đã cho thiếu diện là hình gì?

b) Chứng minh rằng mặt phẳng (α) phần chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện H₁ và H₂ bằng nhau.

c) Tính tỉ số thể tích của khối đa diện H₁ và thể tích tứ diện AA’BD.

Câu 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm: A(1; -3; -1); và B(-2; 1; 3)

a) Chứng tỏ rằng hai điểm A và B cách đều trục Ox.

b) Tìm điểm C nằm trên Oz sao cho tam giác ABC vuông tại C.

c) Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng AB trên mp(Oyz).

d) Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm O, A, B và có tâm nằm trên mp(oyz).

Lời giải:

Câu 1:

a) Vì số mặt phẳng cắt mặt phẳng song song theo hai giao tuyến song song nên α cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành DNB’N’.

b) H₁ và H₂ là hai hình đa diện đối xứng với nhau qua tâm O của hình hộp nên chúng bằng nhau.

c) Vì H₁ và H₂ bằng nhau nên thể tích của chúng bằng một thể tích hình hộp.

Mặt khác

Câu 2:

a) Ta có: d(A,Ox)=d(B,Ox)=√10 (đpcm)

b) Gọi C(0; 0; c) ∈Oz là điểm cần tìm.

Vì ΔABC vuông tại C nên CA²+CB²=AB²

<=> 1+9+(1+c)²+41+(3-c)²=9+16+16

<=> 2c²-4c-16=0 <=> c = 4 và c = -2

Vậy điểm C thỏa mãn bài toàn là: C = (0; 0; 4) và C’(0; 0; -2)

c) Hình chiếu của A(1; -3; -1) lên mp(Oyz) là A’(0; -3; -1)

Hình chiếu của B(-2; 1; 3) lên mp(Oyz) là B’(0; 1; 2)

Vậy A’B’ chính là hình chiếu của AB lên mp(Oyz). Phương trình đường thẳng A’B’ là:

d) Gọi I(a; b; 0) ∈ (Oxy) là tâm của mặt cầu đi qua O, A, B.

Khi đó ta có:

Vậy phương trình mặt cầu là:

Comments

comments