Bài 15 (trang 89 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua ba điểm M(2, 0, -1), N(1, -2, 3), P(0, 1, 2).
b) Đi qua hai điểm A(1, 1, -1), B(5, 2, 1) và song song với trục Oz.
c) Đi qua điểm (3, 2, -1) và song song với mặt phẳng có Phương trình: x – 5y + z=0
d) Đi qua hai điểm A(0; 1; 1), B(-1; 0; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z + 1 = 0
e) Đi qua điểm M(a, b, c) (abc ≠ 0) và song song với một mặt phẳng tọa đố.
g) Đi qua điểm G(1, 2, 3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC
h) Đi qua điểm H(2, 1, 1) và cắt trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trung trực tâm tam giác ABC.
Lời giải:
a) Mặt phẳng (MNP) nhận vectơ [MN→,MP→ ] là vectơ pháp tuyến. ta có MN→=(1,-2,4),MP→=(-2,1,3) nên [ MN→,MP→ ]=(-10,-5,-5). Vậy mp(MNP) đi qua M(2, 0, -1) và vectơ pháp tuyến là (-10, -5, -5) nên ta có phương trình: -10(x-2)-5y-5(z+1)=0 <=> 2x + y + z – 3 = 0
b) Vì mặt phẳng đi qua AB và song song với OZ nên nó có vectơ pháp tuyến là n→=[AB→,k→], với AB→=(4,1,2),k→=(0,0,1) nên n→=(1,-4,0)
Vậy mặt phăng cần tìm đi qua A(1, 1, -1) và có vectơ pháp tuyến là n→=(1,-4,0) nên ta có Phương trình là: 1(x-1)-4(y-1)+0(z+1)=0
<=> x – 4y + 3 = 0
c) Vì mặt phẳng cần tìm song song với mp: x – 5y + z = 0, nên nó có Phương trình dạng: x – 5y + z + D = 0, mà mặt phẳng này lại đi qua điểm (3, 2, -1) nên ta có:
3-5.2+(-1)+D=0 <=> D = 8
Vậy Phương trình mặt phẳng song song với nhau thì có cùng vectơ pháp tuyến, nen mặt phẳng cần tìm có vectơ pháp tuyến là n ⃗=(1,-5,1) nên nó có phương trình là: 1(x-3)-5(y-2)+1(z+1)=0 <=> x-5y+z+8=0
d) Vì mặt phẳng cần tìm đi qua AB và vuông góc với mặt phẳng: x – y + z + 1 = 0 nên có vectơ pháp tuyến là n→=[AB→,n1→], với AB→=(-1,-1,1) và n1→=(1,-1,1) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: x-y+z+1=0. Suy ra n→=(0,2,2).
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: y + z – 2 = 0
e) Nếu mặt phẳng cần tìm song song với mp(Oxy) thì nó có vectơ pháp tuyến là n→=(0,0,1), mặt khác mặt phẳng này đi qua điểm M(a, b, c) nên có phương tình là: z – c = 0.
Tương tự, nếu mặt phẳng cần tìm đi qua M(a, b, c) và song song với mp(Oxz) thì có Phương trình: y – b = 0.
g) Giả sử 3 giao điểm A, B, C của mặt phẳng với 3 trục tọa độ là A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c). vì G(1, 2, 3) là trọng râm của ΔABC nên ta có:
nên ta có Phương trình mp(ABC) theo đoạn chắn là :
h) Giả sử 3 giao điểm A, B, C của mặt phẳng với 3 trục tọa độ là: A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c). vì H(2, 1, 1) là trực tâm ΔABC nên.
khi đó, phương trình mặt phẳng (ABC) viết theo đoạn chắn là:
Mặt khác, mặt phẳng này đi qua H(2, 1, 1) nên ta có:
2.2 + 1 + 1 = 2a <=> a = 3
Vậy Phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x+y+z-6=0
Bài 16 (trang 89 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Xét các vị trị tương đối của mỗi cặp phẳng cho bởi các Phương trình sau.
a) x+2y-z+5=0 và 2x+3y-7z-4=0
b) x-2y+z-3=0 và 2x-y+4z-2=0
c) x+y+z-1=0 và 2x+2y+2z+3=0
d) 3x-2y+3z+5=0 và 9x-6y-9z-5=0
e) x-y+2z-4=0 và 10x-10y+20z-40=0
Lời giải:
a) Hai mặt phẳng cắt nhau, vì 1: 2: (-1) ≠ 2: 3: (-7)
b) Hai mặt phẳng cắt nhau, vì: 1: (-2): 1 ≠ 2: (-1): 4
c) Hai mặt phẳng song song, vì: 1/2=1/2=1/2 ≠ -1/3
d) Hai mạt phẳng cắt nhau, vì: 3: (-2): 3 ≠ 9: (-6): (-9)
e) Hai mặt phẳng trung nhau, vì: 1/10=-1/(-10)=2/20=-4/(-40).
Bài 17 (trang 89 sgk Hình Học 12 nâng cao): Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp sau đây song song.
a) 2x+ny+2z+3=0 và mx+ny+2z+8=0
b) 2x+y+mz-2=0 và x+ny+2z+7=0
Lời giải:
a) Điều kiện để hai mặt phẳng đã cho song song với nhau là:
b) Điều kiện để hai mặt phẳng đã cho song song với nhau là:
Bài 18 (trang 90 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là:
2x-my+3z-6+m=0 và (m+3)x-2y+(5m+1)z-1=0
Với giá trị nào của m thì:
a) Hai mặt phẳng song song.
b) Hai mặt phẳng trùng nhau.
c) Hai mặt phẳng đó cắt nhau.
d) Hai mặt phẳng vuông góc.
Lời giải:
Các hệ số của phương trình mặt phẳng: 2x-my+3z-6+m=0 là: A = 2, B = -m, C = 3, D = m – 6
Các hệ số của phương trình mặt phẳng là: (m+3)x-2y+(5m+1)z-1=0: A’ = m + 3; B’ = -2, C’ = 5m + 1; d’ = -10
a) Để hai mặt phẳng đã cho song song với nhau là:
Hệ này vô nghiệm, nên không có m để hai mặt phẳng song song.
b) Để hai mặt phẳng đã cho trừng với nhau là:
c) Hai mặt phẳng cắt nhau khi và chỉ khi chúng không trùng nhau (vì theo câu a, hai mặt này không thể song song với nhau). Theo câu b) ta suy ra giá trị m đẻ hai mặt phẳng cắt nhau là: m ≠ 1
d) Hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là: n1→(2,-m,3) và n2→(m+3),-2,5m+1)
Để hai mặt phẳng vuông góc thì n1→⊥n2→ hay n1→.n2→=0
<=> 2(m+3)+2m+3(5m+1)=0 <=> m=-9/19.
Vậy m =-9/19 là giá trị cần tìm.
Bài 19 (trang 90 sgk Hình Học 12 nâng cao): Tìm tập hợp các diểm cách đều 2 mặt phẳng (α) và (α’) trong mỗi trường hợp sau:
a) (α): 2x-y+4z+5=0, (α’ ):3x+5y-z-1=0
b) (α):2x+y-2z-1=0, (α’ ):6x-3y+2z=0
c) (α):x+2y+z-1=0, (α’ ):x+2y+z+5=0
Lời giải:
a) Gọi điểm M(x, y, z) là điểm cách đều (α) và (α’ ),khi đó:
Vậy quỹ tích các điểm M cách đều 2 mặt phẳng đã cho là mặt phẳng có Phương trình (1) và (2)
b) Cách giải tương tự cầu a, ta có tập hợp các điểm M cách đều 2 mặt phẳng đã cho có Phương trình sau : -4x+16y-20z-1=0 và 23x-2y-8z-13=0
c) Gọi điểm M(x, y, z) là điểm cách đều (α) và (α’ ),khi đó:
Vậy quỹ tích điểm M cần tìm cần tìm là mặt phẳng Phương trình x + 2y +z +2 = 0
Bài 20 (trang 90 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Tìm khoảng cách giửa hai mặt phẳng:
Ax+By+Cz+D=0 và Ax+By+Cz+D’=0 với D ≠ D’
Lời giải:
Ta nhận thấy hai mặt phẳng đã cho song song với nhau, nên khoảng cách giữa 2 mặt phẳng là khoảng cách từ 1 điểm M bất kì đến mặt phẳng kia.
Giả sử điểm M(x0,y0,z0) thuộc mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 ta có khoảng cách cần tìm là:
Bài 21 (trang 90 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau:
a) M các đều điểm A(2, 3, 4) và mặt phẳng: 2x + 3y + z – 17 = 0
b) M cách đều hai mặt phẳng x+y-z+1=0 và x-y+z+5=0
Lời giải:
Vì M nằm trên trục Oz nên có tọa độ dạng: M = (0, 0, c)
a) Ta có:
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng: 2x+3y+z-17=0 là:
theo bài ra, ta có: MA = h <=> MA2=h2
<=> c = 3. Vậy M = (0, 0, 3) là điểm cần tìm.
b) Vì M(0, 0, c) cách đều hai mặt phẳng: x+y-z+1=0 và x-y+z+5=0 nên ta có:
<=>(-c+1)=±(c+5) <=> c = -2
Vậy M = (0, 0, -2) là điểm cần tìm.
Bài 22 (trang 90 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho tứ diện OABC có tam giác OAB, OBC, OCA là các tam giác vuông đỉnh O, gọi α,β,γ lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Bằng phương pháp tọa độ hãy chứng minh.
a) Tam giác ABC có ba góc nhọn
b) cos2α+cos2β+cos2γ=1
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: O = (0, 0, 0); A = (a, 0, 0); B = (0, b, 0); C = (0, 0, c)
a) Ta có:
AB→=(-a,b,0),AC→=(a,0,c) nên
Tương tự, ta có góc ACB và góc ABC góc nhọn.
Vậy ΔABC có ba góc nhọn (đpcm)
b) Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến là: n→=[AB→,AC→ ]=(bc,ac,ab).
Các mặt phẳng (OBC), (OAC), (OAB) lần lượt có vectơ pháp tuyến là
n1→=(1,0,0), n2→=(0,1,0),n3→=(0,0,1) nên ta có:
Bài 23 (trang 90 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Viết Phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng 4x + 3y – 12z + 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu Phương trình: x2+y2+z2-2x-4y-6z-2=0
Lời giải:
Mặt cầu: x2+y2+z2-2x-4y-6z-2=0 có tâm I(1, 2, 3), bán kính R = 4. Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng 4x+3y-12z+1=0 nên Phương trình có dạng: 4x+3y-12z+D=0 (α)
Vì mp(α) tiếp xúc với mặt cầm tâm I(1, 2, 3), bán kính R = 4 nên ta có:
d(I,α)=R
Vậy mặt phẳng cần tìm có Phương tình là: 4x+3y-12z+78=0 hoặc 4x+3y-12z-26=0