Bài 15 (trang 28 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho tam giác ABC cố định và một điểm S thay đổi. Thể tích của khối chóp S.ABC có thay đổi hay không nếu:
a) Đỉnh S di chuyển trên một mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC)?
b) Đỉnh S di chuyển trên một mặt phẳng song song với chỉ một cạnh đáy?
c) Đỉnh S di chuyển trên một đường thẳng song song với một cạnh đáp?
Lời giải:
Trong đó SΔABC không đổi, h = d(S; (ABC))
a) Khi S di chuyển trên (α)// (ABC)) thì d(S, (ABC)) = (d(α);(ABC))không đổi nên VVS.ABC không đổi.
b) Khi S di chuyển trên một mặt phẳng song song với một cạnh đáy. Mặt phẳng này có thể không song song với mp (ABC).
Khi đó h = d(S: (ABC)) có thể thay đổi nên VS.ABC có thể thay đổi.
c) Giả sử S di chuyển trên d và d// AC (d // AC => d //(ABC)) d(S, (ABC)) , (ABC)=d(d; (ABC)) không đổi nên VVS.ABC không đổi.
Bài 16 (trang 28 sgk Hình Học 12 nâng cao): Hãy chia một khối tứ diện thành hai khối tứ diện sao cho tỉ số thể tích của hai khối này bằng số k > 0 cho trước.
Lời giải:
Gọi M là một điểm trên cạnh AB khác hai đầu nút). Khi đó (SMC) chia tứ diện S.ABC thành hai tứ diện S.AMC và S. BMC lần lượt với thể tích V1,2
Vì d(S, (AMC) = d(S,(BMC)) nên
Kết luận: Lấy điểm M trên AB sao cho AM = k MB. Khi đó, khối tứ diện SABC được chia thành hai khối tứ diện SAMC và SBMC thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 17 (trang 28 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Tính thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ biết rằng AA’B’D’ là khối tứ diện đều cạnh a.
Lời giải:
Vì h = d (ABCD); (A’B’C’D’) = d(A, (A’B’D’) và SΔA’ B’ C’ D’=2.SΔA’ B’ D’
Bài 18 (trang 28 sgk Hình Học 12 nâng cao): Tính thể tích của một khối n – có tất cả các cạnh đều bằng a.
Lời giải:
– Xét lăng trụ n – giác đều.
A1 A2..A_n A1‘ A2‘…An‘ có tất cả các cạnh bằng a.
Ta có: V = S.h, trong đó
S là diện tích n – giác điều A1 A2…An cạnh a.
h là chiều cao.
V là thể tích của lăng trụ.
– Theo đề ra: h = a
S = n. S_(ΔOA1 A2 ) (O là tâm của đáp A1 A2…An)
Bài 19 (trang 28 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABc vuông tại A, AC = b, góc ACB=60o. Dường thẳng BC’ tạo mp (AACC’) một góc 30o.
a) Tính độ dài đoạn thẳng AC’
b) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
Lời giải:
a) Do ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên AA’ ⊥ AB mà AC ⊥ AB.
AB ⊥ (ACC’A’)
góc BC’A=30o và ΔABC’ vuông tại A.
AC’ = AB. Cot 30o
Xét ΔABC: AB = AC.tan (góc ACB)=b √3
Vậy AC’ = b √3; √3=3b
b) VABC.A’B’C’=SΔABC.h: trong đó
Bài 20 (trang 28 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. điểm A’ cách đều 3 điểm A, B, C, cạnh bên AA’ tạo với mặt phần đáy một góc 600.
a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
b) Chứng minh rằng mặt bên BCC’B’ là một hình chữ nhật.
c) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ (tổng đó gọi là diện tích xung quanh của hình (hoặc khối lăng trụ đã cho).
Lời giải:
a) Gọi O là tâm của tam giác ABC, vì OA = OB = OC nên A’ O ⊥ (ABC)
b) Ta có: BC ⊥ AO nên BC ⊥ AA’ (định lí 3 đường vuông góc)
Lại có AA’ //CC’ => BC ⊥ CC’
Tứ giác BB’C’C là hình bình hành có một góc vuông nên là hình chữ nhật.
c) Sxq=2SAA’ B’ B+SBB’ C’ C
Gọi H là trung điểm của AB để thấy
Bài 21 (trang 28 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho điểm M nằm trong hình tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M tới bốn mặt của hình tứ diện là một số không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Tổng đó bằng bao nhiêu nấu cạnh của tứ diện đều bằng a?
Lời giải:
Gọi h1,h2,h3,h4 lần lượt là khoảng các từ M đến (ABC), (ACD), (ABD), (BCD). Khối tứ diện ABCD được chia thành 4 khối tứ diện MABC, MACD, MABD, MBCD.
Ta có:
Lại vì SΔABC=SΔACD=SΔABD=SΔBCD
Nên VABCD=(1/3).S_ΔABC (h1+h2+h3+h4) (1)
Gọi h là chiều cao của tứ diện đều, ta có:
Từ (1) và (2) có: h1+h2+h3+h4=h
Nếu cạnh của tứ diện đều bằng a thì h a√6/3
Bài 22 (trang 28 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’. gọi M là trung điểm của AA’. Mặt phẳng đi qua M, B’, C chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số của thể tích của hai phần đó.
Lời giải:
Gọi V, S, h lần lượt là thể tích và diện tích đáy, chiều cao của lăng trụ. V1,V2 lần lượt là thể tích phần lăng trụ bên trên, bên dưới thiết diện MB’C
E = CM ∩C’A’, do M là trung điểm của AA’ nên A’E = A’C’
SΔEA’B’=SΔA’B’C’ =S
Ta có:
Bài 23 (trang 29 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S. gọi V và V’ lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và S.A’B’C’
Chứng minh rằng:
Lời giải:
Ta có:
Kẻ CH, C’H’ vuông góc với (SAB) (H, H’ ∈ (SAB)) => CH // C’H’ và S, H, H’ thẳng hàng nên
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
Bài 24 (trang 29 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trung điểm cạnh SC. Mặt phẳng (P) đi qua AM, song song với BD, chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Lời giải:
Gọi B’= (P) ∩SB; D’ = (P) ∩SD;O=AC ∩BD
Khi đó: B’D’, AM, SO đồng quy tại trọng tâm G của ΔSAC và B’D’ // BD (do (P) // BD)
Cách 1.
Ta có:
Lại có: GB’ = GD’
=> SΔAB’M=SΔAD’M (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Bài 25 (trang 29 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Chứng minh rằng nếu có phép vị tự số k biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’ thì:
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của A trên (BCD). Giả sử phép vị tự tỉ số k biến A, B, C, D, H lần lượt thành A’, B’, C’, D’, H’.
Vì H ∈(BCD) nên H’ ∈(B’C’D’). Hơn nữa, theo tính chất của phép vị tự thì A’H’ song song hoặc trùng hợp với AH; (B’C’D’) song song hoặc trùng hợp với (BCD) mà AH ⊥ (BCD) nên A’H’ ⊥ (B’C’D’). Vậy A’H’ là đường cao của tứ diện (A’B’C’D’) (1)
Mặt khác, dễ thấy:
Hơn nữa, cũng từ tính chất của phép vị từ ta có:
Từ (1), (2), (3) ta có:
