b)

– Tập xác định: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = 3x² + 8x + 4

y’ = 0 => x = -2 hoặc x = -2/3

+ Giới hạn:

Bảng biến thiên

– Đồ thị:

Ta có 2 + 3x – x³ = 0 ⇒ x = -1 ; x = 2

+ Giao với Ox: (-1; 0) và (2; 0)

+ Giao với Oy: (0; 2) (vì y(0) = 2)

c)

– Tập xác định: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = 3x² + 2x + 9 > 0 ∀ x ∈ R

=> Hàm số luôn đồng biến trên R và không có điểm cực trị.

+ Giới hạn:

Bảng biến thiên

– Đồ thị:

d)

– Tập xác định: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = -6x² ≤ 0 ∀ x ∈ R

=> Hàm số luôn nghịch biến trên R và không có điểm cực trị.

+ Giới hạn:

Bảng biến thiên

– Đồ thị:

Bài 2 (trang 43 SGK Giải tích 12): Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:

a) y = -x⁴ + 8x² – 1 ;     b) y = x⁴ – 2x² + 2

Lời giải:

a)

– Tập xác định: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = -4x³ + 16x = -4x(x² – 4)

y’ = 0 ⇔ -4x(x² – 4) = 0 => x = 0 ; x = ±2

+ Giới hạn:

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -2) và (0; 2).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-2; 0) và (2; +∞).

+ Cực trị:

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là: (0; -1).

Đồ thị hàm số có hai điểm cực đại là: (-2; 15) và (2; 15).

– Đồ thị:

Hàm số đã cho là hàm số chẵn, vì:

y(-x) = -(-x)⁴ + 8(-x)² – 1 = -x⁴ + 8x² – 1 = y(x)

Do đó đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta có: -x⁴ + 8x² – 1 = 0 => x = ±√(4 + √15) ; x = ±√(4 – √15)

+ Giao với Ox: tại 4 điểm

+ Giao với Oy: (0; -1) (vì y(0) = -1)

b)

– Tập xác định: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = 4x³ – 4x = 4x(x² – 1)

y’ = 0 ⇔ 4x(x² – 1) = 0 => x = 0 ; x = ±1

+ Giới hạn:

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0) và (1; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1).

+ Cực trị:

Đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu là: (-1; 1) và (1; 1).

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 2).

– Đồ thị:

Xác định tương tự như a) ta có đồ thị:

c)

– Tập xác định: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = 2x³ + 2x = 2x(x² + 1)

y’ = 0 ⇔ 2x(x² + 1) = 0 => x = 0

+ Giới hạn:

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0).

+ Cực trị:

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; -3/2).

– Đồ thị:

Xác định tương tự như a) ta có đồ thị:

d)

– Tập xác định: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = -4x – 4x³ = -4x(1 + x²)

y’ = 0 ⇔ -4x(1 + x²) = 0 => x = 0

+ Giới hạn:

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; +∞).

+ Cực trị:

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 3).

– Đồ thị:

Xác định tương tự như a) ta có đồ thị:

Bài 3 (trang 43 SGK Giải tích 12): Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số phân thức:

a)

– Tập xác định: D = R \ {1}

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

=> Hàm số nghịch biến trên (-∞; 1) và (1; +∞).

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

Vậy x = 1 là tiệm cận đứng.

Vậy y = 1 là tiệm cận ngang.

+ Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; -3)

+ Giao với Ox: (-3; 0)

b)

– Tập xác định: D = R \ {2}

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

=> Hàm số đồng biến trên (-∞; 2) và (2; +∞).

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

Vậy x = 2 là tiệm cạn đứng.

Vậy y = -1 là tiệm cận ngang.

+ Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; -1/4)

+ Giao với Ox: (1/2; 0)

Xác định một số điểm khác:

c)

– Tập xác định: D = R \ {-1/2}

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

=> Hàm số nghịch biến trên (-∞; -1/2) và (-1/2; +∞).

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

Vậy x = -1/2 là tiệm cận đứng.

Vậy y = -1/2 là tiệm cận ngang.

+ Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; 2)

+ Giao với Ox: (2; 0)

Bài 4 (trang 44 SGK Giải tích 12): Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:

a) x³ – 3x² + 5 = 0 ;

b) -2x³ + 3x² – 2 = 0 ;

c) 2x² – x⁴ = -1

Lời giải:

a) x³ – 3x² + 5 = 0     (1)

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = x³ – 3x² + 5 và trục hoành (y = 0).

Xét hàm số y = x³ – 3x² + 5 ta có:

– TXĐ: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = 3x² – 6x = 3x(x – 2)

y’ = 0 => x = 0 ; x = 2

+ Giới hạn:

    + Bảng biến thiên:

+ Đồ thị

Đồ thị hàm số y = x³ – 3x² + 5 chỉ cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất. Từ đó suy ra phương trình x³ – 3x² + 5 = 0 chỉ có 1 nghiệm.

b) -2x³ + 3x² – 2 = 0

⇔ 2x³ – 3x² = -2     (2)

Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x³ – 3x² và đường thẳng y = -2.

Xét hàm số y = 2x³ – 3x²

– TXĐ: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = 6x² – 6x = 6x(x – 1)

y’ = 0 => x = 0 ; x = 1

+ Giới hạn:

    + Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số y = 2x³ – 3x²chỉ cắt đường thẳng y = -2 tại 1 điểm duy nhất. Từ đó suy ra phương trình 2x³ – 3x² = -2 chỉ có 1 nghiệm.

Vậy phương trình -2x³ + 3x² – 2 = 0 chỉ có một nghiệm.

c) 2x² – x⁴ = -1     (3)

Số nghiệm của phương trình (3) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x² – x⁴ và đường thẳng y = -1.

Xét hàm số y = 2x² – x⁴ ta có:

– TXĐ: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = 4x – 4x³ = 4x(1 – x²)

y’ = 0 => x = 0 ; x = ±1

+ Giới hạn:

+Bảng biến thiên

– Đồ thị:

Đồ thị hàm số y = 2x² – x⁴cắt đường thẳng y = -1 tại hai điểm. Từ đó suy ra phương trình 2x² – x⁴ = -1 có hai nghiệm phân biệt.

Bài 5 (trang 44 SGK Giải tích 12): a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:

y = -x³ + 3x + 1

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số m:

x³ – 3x + m = 0

Lời giải:

a) Khảo sát hàm số y = -x³ + 3x + 1

– Tập xác định: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = -3x² + 3 = -3(x² – 1)

y’ = 0 ⇔ -3(x² – 1) = 0 ⇔ x = ±1

+ Giới hạn:

+Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).

+ Cực trị:

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là: (-1; -1).

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (1; 3).

– Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; 1).

+ Đồ thị (C) đi qua điểm (-2; 3), (2;-1).

b) Ta có: x³ – 3x + m = 0 (*) ⇔ -x³ + 3x = m

⇔ -x³ + 3x + 1 = m + 1

Số nghiệm của phương trình (*) chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng (d): y = m + 1.

c) Với m = 2 ta được hàm số:

Xét hàm số trên ta có:

– TXĐ: D = R \ {-1}

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

=> Hàm số đồng biến trên D.

+ Tiệm cận:

=> đồ thị có tiệm cận đứng là x = -1.

=> đồ thị có tiệm cận ngang là y = 1.

+ Bảng biến thiên:

Hàm số không có cực trị.

– Đồ thị:

Một số điểm thuộc đồ thị:

Bài 7 (trang 44 SGK Giải tích 12): Cho hàm số

a) Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm đi qua điểm (-1; 1) ?

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.

c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) tại điểm có tung độ bằng 7/4.

Lời giải:

a) Đồ thị hàm số qua điểm (-1; 1) khi và chỉ khi:

b) Với m = 1, ta có:

– TXĐ: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = x³ + x = x(x² + 1)

y’ = 0 ⇔ x(x² + 1) ⇔ x = 0

+ Giới hạn:

+Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên (0; +∞) và nghịch biến trên (-∞; 0)

+ Cực trị:

Hàm số có điểm cực tiểu là (0; 1).

– Đồ thị:

c) Điểm thuộc (C) có tung độ bằng 7/4 nên hoành độ của điểm đó là nghiệm của phương trình:

Bài 8 (trang 44 SGK Giải tích 12): Cho hàm số:

y = x³ + (m + 3)x² + 1 – m (m là tham số) có đồ thị (C_m).

a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là x = -1.

b) Xác định m để đồ thị (C_m) cắt trục hoành tại x = -2.

Lời giải:

a) Ta có: y’ = 3x² + 2(m + 3)x = x[3x + 2(m + 3)]

y’ = 0 ⇔ x[3x + 2(m + 3)] = 0 ⇔ x₁ = 0; x₂ = [-2(m + 3)]/3 = -2/3 m – 2

– Nếu x₁ = x₂ => -2/3 m – 2 = 0 => m = -3

Khi đó y’ = 3x² ≥ 0 hay hàm số luôn đồng biến trên R nên không có cực trị (loại).

Do đó để hàm số có cực trị thì m ≠ -3.

– Nếu x₁ < x₂ ⇔ m = -3 ta có bảng biến thiên:

Loại vì dựa vào bảng biến thiên ta thấy điểm cực đại là x = 0.

– Nếu x₁ > x₂ ⇔ m < -3 ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy điểm cực đại là x = -2/3 m – 2.

Để điểm cực đại là x = -1 thì:

b) Đồ thị (C_m) cắt trục hoành tại x = -2 suy ra:

(-2)³ + (m + 3)(-2)² + 1 – m = 0 (*)

=> -8 + 4(m + 3) + 1 – m = 0

=> 3m + 5 = 0 => m = -5/3

(Giải thích *: Cắt trục hoành tại x = -2 nên tọa độ giao điểm là (-2; 0). Thay tọa độ giao điểm vào phương trình hàm số ta được (*).)

Bài 9 (trang 44 SGK Giải tích 12): Cho hàm số

có đồ thị (G).

a) Xác định m để đồ thị (G) đi qua điểm (0; -1).

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m tìm được.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung.

Lời giải:

a) Đồ thị (G) đi qua điểm (0; -1) khi và chỉ khi:

b) Với m = 0 ta được hàm số:

 TXĐ: D = R \ {1}

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên D.

+ Tiệm cận:

Đồ thị có tiệm cận đứng là x = 1.

Đồ thị có tiệm cận ngang là y = 1.

+ Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

+ Giao điểm với Ox: (-1; 0)

+ Giao điểm với Oy: (0; -1)

c) Đồ thị cắt trục tung tại điểm P(0;-1), khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm P(0; -1) là:

y = y'(0).(x – 0) – 1 => y = -2x – 1

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -2x – 1