Bài 6 (trang 8 sgk Giải Tích 12 nâng cao): 

Xét chiều biến thiên của hàm số sau:

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định trên R.

y’=x²-4x+4=(x-2)²>0,∀x ≠ 2;y’=0 chỉ tại x = 2

Vậy hàm số đồng biến trên R.

Hàm số đã cho xác định trên R.

y’=-4x²+12x-9=-(2x-3)²≤0,∀x ∈R;y’=0 chỉ tại x=3/2

Vậy hàm số nghịch biến trên R.

Hàm số đã cho xác định trên D = R \ {5}

Nên hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;5)và (5; +∞)

Chiều biến thiên của hàm số được nên trong bảng sau:

Vậy hàm số đồng biến trên [0; 1] và nghịch biến trên [1; 2] (có thể nói hàm số đồng biến trên (0; 1) nghịch biến trên (1; 2))

(x²-2x+3=(x-1)²+2>0 ∀x ∈R)

Hàm số nghịch biến trên (-∞;1), đồng biến trên (1; +∞)

Hàm số xác định trên D = R \ {-1}

∀x ∈D nên hám số nghịch biến trên mỗi khoảng (-∞; -1)và (-1; +∞)

Bài 7 (trang 8 sgk Giải Tích 12 nâng cao): 

Chứng minh rằng hàm số f(x) cos⁡2x-2x+3 nghịch biến trên R.

Lời giải:

f(x) xác định và liên tục trên R nên liên tục trên mỗi đoạn

f’(x) = 0 <=> sin 2x = -1 <=> 2x = -π/2+k2 π <=> x=-π/4+k π,k ∈Z

Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn

Do đó hám số nghịch biến trên R.

Bài 8 (trang 8 sgk Giải Tích 12 nâng cao): 

Chứng minh bất đẳng thức sau:

sin⁡x<x với mọi x > 0; sin x > x với mọi x < 0.

Lời giải:

+ Hàm số f(x) = x-sin⁡x liên tục trên nửa khoảng

[0;π/2) và có đạo hàm f’(x) = 1-cos⁡x>0 ∀x ∈(0;π/2)

Do đó hàm số đồng biến trên [0;π/2). Suy ra: f’(x) > f(0) ∀x ∈(0;π/2) hay x-sin⁡x>0,∀x ∈(0;π/2)

Hiển nhiên x >sin x, ∀x≥π/2 (do sin x ≤1)

Vậy x

sin⁡x với mọi x >0

+ Hàm số f(x) = x – sin x liên tục trên [-π/2;0] và có đạo hàm f’(x) = a- cos x > 0 ∀x ∈(-π/2;0). Do đó hàm số đồng biến trên (-π/2;0)

Hiển nhiên: x < sin x với mọi x≤-π/2 (vì sinx≥-1)

Vậy x < sin x với mọi x < 0

Cách 1. Hàm số g(x) = cos x – 1 + x²/2. Xác định trên R và có đạo hàm g’(x) = x – sin x

Chiều biến thiên của g(x) được thể hiện bảng sau:

Vậy g(x) > 0, ∀x ≠ 0

Cách 2. Xét g(x) = cos⁡x-1+x²/2 liên tục trên nửa khoảng [0; +∞] và có đạo hàm g’(x) = x – sin x. theo a, g’(x) >0 với mọi x> 0

Do đó hàm số g đồng biến trên [0; +∞)

Và ta có: g(x) > g(0), ∀x>0

Tức là cos x – 1 + x²/2>0 với mọi x > 0 (1)

Từ đó suy ra với mọi x < 0, ta có:

Từ (1) và (2), ta có g(x) > 0 ∀x ≠ 0 hay cos x > 1-x²/2,∀x ≠ 0

Xét h(x) = sin x – x + x²/6 xác định trên R và có đạo hàm h’(x) = cos x – 1 + x/2>0,∀x ≠ 0; h’() = 0 (theo b)

H(x) đồng biến trên R và ta có:

H(x) >h(0) với mọi x > 0 và sinh sinx<x-x²/6 với mọi x < 0

Comments

comments