Bài 45 (trang 44 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau: y=x³-3x²+1

b) Tùy theo các giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của Phương trình x³-3x²+m+2=0

Lời giải:

a) TXĐ: R

y’=3x²-6x=3x(x-2)=0

y’> 0 trên khoảng (-∞;0)∪(2; +∞)

y’ < 0 trên khoảng (0; 2)

y_CT=y(2)=-3;y_CĐ=y(0)=1

y”=6x-6=6(x-1)=0 <=> x = 1

Bảng xét dấu y’’

X	-∞		0		+∞
Y’’		–	0	+
Đồ thị	Lồi		điểm uốn u(1; -1)		lõm

Hàm số lồi trên khoảng (-∞;1)

Hàm số lõm trên khoảng (1; +∞)

Hàm số có 1 điêm uốn u(1; -1)

Bảng biến thiên.

• Đồ thị

Giao với Oy (0; 1)

b) x³-3x²+m+2=0 x³-3x²+1=-1-m (2)

Số nghiệm của Phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị y=x³-3x²+1 với đường thẳng y = -1 – m.

Dựa vào đồ thị ở câu a) ta có:

– Nếu -1-m > 1<=> m < -2 phương trình (2) có 1 nghiệm.

– Nếu -1-m=1 <=> m = -2: Phương trình (2) có 2 nghiệm.

– Nếu -3 < -1-m < 1 <=> -2 < m < 2: Phương trình (2) có 3 nghiệm

– Nếu -1-m < -3 <=> m > 2: Phương trình (2) có 1 nghiệm

Kết luận:

-2 < m,2. Phương trình (2) có 3 nghiệm

Bài 46 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao): 

Cho hàm số y=(x+1)(x₂+2mx+m+2)

a) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = -1

Lời giải:

a) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (C_m) với trục hoành là nghiệm của phương trình:

Đặt f(x) = x²+2mx+m+2

Để đồ thị hàm só (C_m ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình f(x) = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt x₁,x₂ khác -1.

Vậy với m thõa mãn (*) thì đồ thị hàm số C_m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

b) Với m = -1. Ta có: y=(x+1)(x²-2x+1)=x³-x²-x+1

TXĐ: R

Bảng xét dấu y’’

X	-∞		0		+∞
Y’’		–	0	+
Đồ thị	Lồi		điểm uốn u(1/3;16/27)		lõm

Hàm số lồi trên khoảng (-∞;1/3)

Hàm số lõm trên khoảng (1/3; +∞)

Hàm số có 1 điểm uốn (1/3;16/27)

Bảng biến thiên

• Đồ thị

Giao với Ox(-1; 0); (1; 0) giao với Oy (0; 1) đi qua (2; 3)

Bài 47 (trang 45 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):

Cho hàm số y=x⁴-(m+1) x²+m

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 2.

b) CMR đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m.

Lời giải:

a) Với m = 2 ta có: y=x⁴-3x²+2

TXĐ: R

y’=4x³-6x=0 <=> 4x(2x³-3 )=0

Bảng xét dấu y’’

Bảng biên thiên

Đồ thị đi qua (1; 0); (-1; 0) (-√2;0),(√2;0),(0;2)

b) Giả sử điểm M(x₀;y₀) là điểm cố định mà đồ thị hàm số đã cho luôn di qua với mọi m.

Ta có:

Vậy hàm số đã cho luôn đi qua 2 điểm cố định: M₁ (-1;0);M₂ (1;0)

Bài 48 (trang 45 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Cho hàm số y=x⁴-2mx²+2m

a) Tìm các giá trị của m sao cho hàm số có 3 cực trị.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m=1/2. Viết Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại 2 điểm uốn.

Lời giải:

a) Ta có y’=4x³-4mx=4x(x²-m)

Để hàm số đã cho có 3 cực trị thì Phương trình y’=0 có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy với m > 0 thì hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Với m=1/2 ta có y=x⁴-x²+1

TXĐ: R

Bảng xét dấu y’’

Bảng biến thiên

Đồ thị đi qua (0; 1)

– y=x⁴-x²+1

Hàm số có 2 điểm uốn là

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn

Vậy 2 phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn là:

Comments

comments