Bài 68 (trang 61 sgk Giải Tích 12 nâng cao): 

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Lời giải:

a) Xét hàm số f(x) = tan x – x

do đó hàm số f(x) đồng biến trên (0;π/2)

Nên f(x) là hàm số đồng biến trên khoảng (0;π/2)

Vì f(0) = 0, nên khi x > 0 thì f(x) > f(0), tức là tan x – x > 0 hay tan x > x.

b) Xét hàm số

=tan²⁡x-x²⁡=(tan⁡x-x)(tan⁡x+x)>0 với mọi x ∈(0;π/2) và do câu a.

Nên f(x) là hàm số đồng biến trên khoảng (0;π/2)

Vì f(0) = 0 nên khi x > 0 thì f(x) > f(), tức là tan⁡x-x-x^3/3>0 hay tan⁡x>x+x^3/3 với x ∈(0;π/2)

Bài 69 (trang 61 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Xét chiều biến thiên và tìm cực trị (nếu có) của hàm số sau:

Lời giải:

nên hàm số đồng biến trên khoảng (-1/3; +∞). Suy ra hàm số chỉ có cực tiểu tại x=-1/3 và giá trị cực tiểu bẳng y(-1/3)=0.

b) Tập xác định D = [0; 4],

=> Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2), nghịch biến trên khoảng (2; 4). Hàm số chỉ có một giá trị cực đại tại x = 2 và bằng 2.

c) y=x+√x. TXĐ: D = [0; +∞)

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞)

Suy ra hàm số có một giá trị cực tiểu tại x = 0 và giá trị cực tiểu bằng y(0) = 0

d) y=x-√x, TXĐ: D = [0; +∞)

Hàm số đồng biến trên khoảng (1/4; +∞), nghịch biến trên khoảng (0;1/4).

Vậy hàm số có một giá trị cức tiểu tại x=1/4

Và giá trị cực tiểu bằng y(1/4)=-1/4

Bài 70 (trang 61 sgk Giải Tích 12 nâng cao): 

Người ta định làm một cái hộp kim loại hình trụ có thể tích V cho trước. tìm bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ sao cho ít tốn kim loại nhất

Lời giải:

Gọi bán kính của hình trụ là a, 0 < x < V

=> Chiều cao của hình trụ là

Để làm một cái hộp kim loại hình trụ ít tốn kim loại nhất thì diện tích toàn phần của hình trụ bé nhất.

Bài 71 (trang 62 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Chu vi một tam giác là 16 cm, độ dài một cạnh tam giác là 6 cm. tìm độ dài hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất.

Lời giải:

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là 6, x và 10 – x, với 0 < x < 10

Áp dụng công thức Hê-rông ta có diện tích tam giác là:

Để diện tích tam giác lớn nhất thì hàm số y=-x²+10x-16 đạt giá trị lớn nhất trên (0; 10).

Ta có y’=-2x+10;y’=0 <=> x = 5

Hàm số đồng biến trên (0; 5), nghịch biên trên khoảng (5; 10)

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 5.

Khi đó diện tích của tam giác lớn nhất bằng 6 √2.

Vậy đồ dài cạnh còn lại đều là 5 cm.

Bài 72 (trang 62 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.

b) Chứng minh rằng Phương trình f(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt.

Lời giải:

a) TXĐ: R

y’=x²-4x=x(x-4);y’=0 <=> x = 0; x = -4

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞,0)và (4; +∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 4)

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y_CĐ=y(0)=17/3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4, y_CT=y(4)=-5

y”=2x-4; y”=0 <=> x = 2

Bảng xét dấu

Bảng biến thiên

Đồ thị

b) Đồ thị hàm số

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. vậy phương trình f(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt.

Bài 73 (trang 62 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Cho hàm số f(x) = x³+px+q

a) Tìm điều kiện đối với p và q để hàm số f có cực đại và một cực tiểu.

b) Chứng minh rằng nếu có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu thì Phương trình x³+px+q = (1) có 3 nghiệm phân biệt.

c) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là 4p³+27q²<0

Lời giải:

a) f'(x)=3x²+p

Để hàm số f có một cực đại và một cực tiểu thì phương trình f’(x) = 2 có 2 nghiệm phân biệt và f’(x) đối dấu qua các điểm đó. Vật p < 0

b) Cách 1.

Dạng đồ thị như hình vẽ.

Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt nên phương trình x³+px+q= 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Cách 2.

Hàm số f(x) = x³+px+q liên tục trên R và có

f_CĐ=f(x₁ ),f_CT=f(x₂ )

nên tồn tại số a sao cho f(a) < 0, a<x₁<

Vì f(a), f_CĐ<0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a,x₁)

f(x₁ );f(x² )<0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (x₁,x₂)

nên tồn tại một số b > x₂ sao cho f(b) > 0

Vì f(x² ),f(b)<0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (x²,b)

Do Phương trình bậc ba có nhiều nhất là 3 nghiệm. vậy Phương trình x³+px+q=0 có 3 nghiệm phân biệt.

Chú ý: khẳng định trên đúng với Phương trình bậc ba tổng quát.

Gọi x₁,x₂ là hai điểm cực trị của hàm số.

Theo câu b, ta có điều kiện cần và đủ để Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là giá trị cực đại và cực tiểu trái dấu nhau, nghĩa là y_CD.y_CT<0 <=> f(x₁ ).f(x₂ )<0

Bài 74 (trang 62 sgk Giải Tích 12 nâng cao): 

Cho hàm số f(x) = x³-3x+1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U của nó.

c) Gọi (d_m) là đường thẳng đi qua U và có hệ số góc m. tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng (d_m) cắt đồ thị của hàm số đã cho tại 3 điểm phân biệt.

Lời giải:

a) TXĐ: D = R

y’=3x²-3;y’=0 <=> 3x²-3=0 <=> 3(x²-1)=0 <=> x = 1; x = -1

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞,-1)và (1; +∞), nghịch biến trên khoảng (1-; 1)

y_CĐ=y(-1)=3;y_CT=y(1)=-1

Bảng xét dấu

Bảng biến thiên

Đồ thị

b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U là: y-1=f'(0)(x-0)

<=> y-1=-3 ,=> y=-3x+1

c) Phương trình đường thẳng (_m) đi qua điểm uốn U và có hệ số góc m có dạng y=mx+1

Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d_m) và đồ thị là nghiệm của Phương trình x³-3x+1=mx+1<=> x³-(3+m)x=0 <=> x(²-m-3)=0 (*)

Để đường thẳng d_m cắt đồ thị của hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt thì Phương trình x³-m-3=0 có 2 nghiệm phân biệt ≠ 0.

<=> m+3>0 ,=> m > -3

Vậy với m > -3 là giá trị cần tìm.

Bài 75 (trang 62 sgk Giải Tích 12 nâng cao): 

Cho hàm số y=x⁴-(m+1) x²+m

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số m = 2

b) Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành 3 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

Lời giải:

a) Với m = 2. Hàm số y=x⁴-3x²+2

TXĐ: D = R

y’=4x³-5x=2x(2x²-3);y’=0 <=> x = 0; x=√6/2;x= -√6/2

Điểm cực đại x = 0; y_CD=y(0)=2

Giới hạn

Bảng biên thiên

Đồ thị

Đồ thị cắt trục tung tại (0; 2)

Cắt trục hoành tại 4 điểm (-√2;0);(-1;0);(1;0);(√2,0)

b) Đặt t=x², điều kiện t≥0. Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm của phương trình.

x⁴-(m+1) x²+m=0 (1)

<=> t²-(m+1)t+m=0 (2)

Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại bốn điểm tạo thành 3 đoạn thẳng có độ dai bằng nhau, tức 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng.

<=> Phương trình (2) có 2 nghiệm dương t₁,t₂ (với t₁ < t₂) thõa mãn điều kiện:

√(t₂ )-√(t₁ )=√(t₁ )-(-√(t₁ ))<=> √(t₂ )=3 √(t₁ ) <=> t₂=9t₁

Phương trình (2) có 2 nghiệm khác nhau là:

Vậy với m = 9 hoặc m=1/9 thì đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm, tạo thành 3 đoạn thẳng bằng nhau.

Comments

comments