Bài 40 (trang 43 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=x3+3x2-4
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.
c) Chứng minh rằng điểm uốn làm tâm đối xứng của đồ thị.
Lời giải:
a) TXĐ: R
y’>0 trên khoảng (-∞; -2)và (0; +∞)
y'<0 trên khoảng (-2; 0)
yCĐ=y(-2)=0; yCT=y(0)=-4
y”=6x+6=6(x+1)=0 <=> x = -1
Bảng xét dấu y’’
X | -∞ | -1 | +∞ | ||
Y’’ | – | 0 | + | ||
Đồ thị | Lồi | điểm uốn u(-1; -2) | lõm |
Hàm số lồi trên khoảng (-∞; -1)
Hàm số lõm trên khoảng -1; +∞)
Hàm số có 1 điểm uốn u(-1; -2)
Bảng biến thiên:
Đồ thị
Đi qua điểm (1; 0) và (-3; -4)
b) Hàm số y=x3+3x2-4 có điểm uốn u(-1; -2)
Ta có: y’=3x2-4 ; y’(-1) = -3
Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn u(-1; -2) có dạng
y-y0=y'(x0)(x-x0)
<=> y+2=-3(x+1)
<=> y=-3x-5
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn là: y = -3x – 5.
c) Đồ thị nhận I(-1; -2) là tâm đối xứng khi và chỉ khi:
f(x0+x)+f(x0-x)=2y0 với ∀x
<=> f(x-1)+f(-x-1)=-4 ∀x
<=> (x-1)3+3(x-1)2-4+(-1-x)3+3(-1-x)2-4 ∀x
<=> x3-3x2+3x-1+3x2-6x+3-5-3x-3x2-x3+3+6x+3x2-4=-4 ∀x
<=>-4=4 ∀x
=> I(-1; -2) là tâm đối xứng của đồ thị.
Bài 41 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y=-x3+3x2-1
b) Tùy theo các giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của phương trình -x3+3x2-1=m
Lời giải:
a) y=-x3+3x2-1. Tập xác định D = R
y’=-3x^2+6x
– Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2)
– Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;0)và (2; +∞)
y_CĐ=y(2)=3; y_CT=y(0)=-1
y”=-6x+6;y”=0 => x = 1
– Hàm số lồi trên khoảng (-∞;1) lõm trên khoảng (1;+∞)
– Hàm số có một điểm uốn I(1; 1)
Bảng biến thiên:
Đồ thị đi qua (0; -1)
Bài 42 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
Lời giải:
a) * TXĐ: R
y’> 0 trên khoảng (-∞; -1)và(3; +∞)
y'< 0 trên khoảng (-1; 3)
yCT=y(3)=-32/3;yCĐ=y(-1)=0
y”=2x-2=2(x-1)=0 <=> x = 1
Bảng xét dấu y’’
Hàm số lồi trên khoảng (-∞; -1).
Hàm số lõm trên khoảng (1; +∞)
Hàm số có 1 điểm uốn u(1; -16/3)
Bảng biến thiên
– Đồ thị
Đi qua (0; -5/3);(5;0)
b) TXĐ: R
y’=3x^2-3=0 <=> x=±1
y’> 0 trên khoảng (-∞; -1)và (1; +∞)
y'< 0 trên khoảng (-1; 1)
yCĐ=y(-1)=3;yCT=y(1)=-1
Bảng xét dấu y’’
X | -∞ | 0 | +∞ | ||
Y’’ | – | 0 | + | ||
Đồ thị | Lồi | điểm uốn u(0; 1) | lõm |
Hàm số có 1 điểm uốn u(0; 1)
• Bảng biến thiên
• Đồ thị
Đi qua (0; 1)
+ Tập xác định D = R.
y’=-x2+2x-2=-[(x-1)2+1]<0 ∀x ∈D
– Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞)
– Hàm số không có cực trị
– Đồ thị không có tiệm cận.
y”=-2x+2;y”=0 => x = 1
– Hàm số lồi trên (1; +∞)lõm trên (-∞;1) nhận I(1; -2) làm điểm uốn.
Bảng biến thiên.
d) y=x3-3x2+3x+1
Tập xác định D = R
y’=3x2-6x+3=3(x-1)2>0 ∀x ∈D
– Hàm số luôn đồng biến (-∞; +∞)
– Hàm số không có cực trị
– Đồ thị không có tiệm cận
y”=6x-6;y”=0 => x = 1
– Đồ thị lồi trên (-∞;1)
– Đồ thị lõm trên (1; +∞)
Đồ thị nhận I(1; 2) làm tâm đối xứng.
Bảng biến thiên
Bài 43 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau: y=-x4+2x2-2
b) Tùy theo các giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của phương trình -x4+2x2-2=m
c) Viết Phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn của đồ thị.
Lời giải:
a) TXĐ: R
* y’=-4x3+4x=4x(-x2+1)=0
y’>0 trên khoảng (-∞; -1)và (0;1)
y'<0 trên khoảng (-1;0) và (1; +∞)
yCT=y(0)=-2;yCĐ=y(-1)=-1
– y”=-12x2+4=4(-3x2+1)=0
Bảng xét dấu y’’
Bảng biến thiên.
• Đồ thị
Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng giao với Oy (0; -2)
b) Số nghiệm của Phương trình -x4+2x2-2=m (1) là giao điểm của đồ thị y=-x4+2x2-2 với đường thẳng y = m.
Nếu m > -1 thì Phương trình (1) vô nghiệm.
Nếu m = 1 thì Phương trình (1) có 2 nghiệm.
Nếu -2 < m < -1: Phương trình có 4 nghiệm.
Nếu m = -2 phương trình (1) có 3 nghiệm
Nếu m < -2: Phương trình (1) có 2 nghiệm
Kết luận:
m > -1: Phương trình (1) vô nghiệm.
Phương trình (1) có 2 nghiệm.
m=−2: Phương trình (1) có 3 nghiệm.
-2 < m < -1 phương trình (1) có 4 nghiệm.
c) Hàm số y=-x4+2x2-2 có 2 điểm uốn đó là:
Phương trình tiếp tuyến uốn
Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiếp tuyến:
Bài 44 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau:
a) y=x4-3x2+2 b) y=-x4-2x2+1
Lời giải:
a) TXĐ: R
y’=4x3-6x=2x(2x2-3)=0
•Bảng xét dấu y’’
• Bảng thiên thiên
• Đồ thị
Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng
Giao với Oy (0; 2)
Giao với Ox (-1; 0); (1; 0)
(-√2;0);(√2;0)
b) y=-x4-2x2+1
TXĐ: R
y’=-4x5-4x=4x(x2-1)=0 <=> x=0
y’> 0 trên khoảng (-∞;0),y'< 0 trên khoảng (0; +∞)
yCĐ=y(0)=1
y”=-12x2-4<0 ∀x ∈R
Bảng xét dấu y’’
X | -∞ | – | +∞ |
Y’’ | Lồi | ||
Đồ thị |
Hàm số lồi trên khoảng (-∞; +∞)
Bảng biến thiên
Đồ thị
Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng giao với Oy (0; 1)