Bài 1 (trang 12 SGK Hình học 12): Chứng minh rằng một đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn. Cho ví dụ:
Lời giải:
*Gọi a là số cạnh, b là số mặt của khối đa diện.
Nếu khối đa diện có các mặt là tam giác thì mỗi mặt có ba cạnh. Trong ba cạnh đó mỗi cạnh lần lượt là cạnh chung của hai mặt.
Ta có 3b = 2a. Nghĩa là b chẵn.
*Ví dụ: hình 1,2
Bài 2 (trang 12 SGK Hình học 12): Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó phải là một số chẵn. Cho ví dụ.
Lời giải:
Cho khối đa diện G có các đỉnh là B1, B2,…, Bn và gọi M1, M2,…, Mn lần lượt là số các mặt của H nhận chúng làm đỉnh chung. Tổng số các cạnh của G là:
C = (M1 + M2 + … + Mn)/2
Vì C là số nguyên dương nên:
M1 + M2 + … + Mn là số chẵn.
Đồng thời M1 ,M2 , …, Mn là n số tự nhiên lẻ nên tổng của chúng là số chẵn khi n chẵn.
Ví dụ: Hình chóp ngũ giác B1B2B3B4B5B6 có: B1 là đỉnh chung của 5 mặt bên. Mỗi đỉnh B1, B2, B3, B4, B5, B6 là đỉnh chung của ba mặt (hình trên).
Bài 3 (trang 12 SGK Hình học 12): Chia một khối lập phương thành năm khối tứ diện.
Lời giải:
Trong hình bên, ta có thể chia thành năm khối tứ diện là AA’D’B’, ABCB’, ADCD’,AD’CB’, CD’C’B’.
Bài 4 (trang 12 SGK Hình học 12): Chia khối lập phương thành sáu khối tứ diện bằng nhau.
Lời giải:
Trong hình bên, ta có thể chia thành sáu khối tứ diện bằng nhau như sau:
+Chia khối lập phương ABCD.A1B1C1D1 thành hai khối lăng trụ tam giác bằng nhau: ABD.A1B1D1và BCD.B1C1D1.
+Tiếp đó, lần lượt chia khối lăng trụ ABD.A1B1D1 và BCD.B1C1D1 thành ba tứ diện: DABB1, DAA1B1và DCBB1, DCC1B1, DD1C1B1.
+Ta chứng minh được các khối tứ diện này bằng nhau như sau:
-Hai khối tứ diện DABB1 và DAA1B1 bằng nhau vì chúng đối xứng nhau qua mặt phẳng (DAB1) (1)
-Hai khối tứ diện DAA1B1 và DD1A1B1 bằng nhau vì chúng đối xứng nhau qua mặt phẳng (B1A1D) (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba khối tứ diện DABB1, DAA1B1 và DD1A1B1 bằng nhau.
-Tương tự, ba khối tứ diện DCBB1, DCC1B1, DD1C1B1 cũng bằng nhau.
Vậy khối lập phương ABCD.A1B1C1D1 được chia thành sáu khối tứ diện bằng nhau.
