Bài 11 (trang 53 sgk Hình Học 12 nâng cao):

Chứng minh rằng hình tròn xoay có vô số mặt đối xứng.

Lời giải:

Giả sử H là hình tròn xoay có trục Δ. Lấy một điểm M ∈ H và gọi M’ là điểm đối xứng của M qua Δ thì MM’ là đường kính của đường tròn (C_M) nên M’∈H. Từ đó suy ra Δ là trung trực đối xứng của H. Mọi mặt phẳng (P) đi qua Δ và đều là mặt phẳng đối xứng của H. thật vậy, nếu M ∈H và M’ đối xứng với M qua mặt phẳng P thì M’ cũng nằm trên đường tròn C_M nên M’ ∈H.

Bài 12 (trang 53 sgk Hình Học 12 nâng cao):

Trong mỗi trường hợp sau, gọi tên các hình tròn xoay.

a) Sinh bởi ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư.

b) Sinh bởi một hình chữ nhật )kể cả ba điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh.

Lời giải:

a) Hình sinh bởi ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư gọi là hình trụ.

b) Hình sinh bởi một hình chữ nhật (kể cả diểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh là khối trụ.

Bài 13 (trang 53 sgk Hình Học 12 nâng cao):

Cho đường tròn (O, R) nằm trong mặt phẳng (P). tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho hình chiếu của chúng trên (P) luôn nằm trên đường tròn đã cho.

Lời giải:

Gọi Δ là trung trực của đường tròn (O, R)

Nếu điểm M có hình chiếu M’ nằm trên (O, R) thì MM’ // Δ và khoảng cách từ M’ tới Δ bằng M’O = R.

Vậy tập hợp các điểm M như thế nào là mặt trụ có trực là Δ và có bán kính bằng R.

Bài 14 (trang 53 sgk Hình Học 12 nâng cao):

Chứng minh rằng các tiếp tuyến của một mặt cầu song song với một đường thẳng cố định nằm trên một mặt trụ xác định.

Lời giải:

Cho mặt cầu S (O, R) và đường thẳng d (Hình vẽ). gọi Δ là đường thẳng đi qua O và song song với d. giải sử 1 tiếp tuyến của mặt cầu và l // d thì 1 // Δ và l cách Δ một khoảng không đổi R. Vậy là nằm trên mặt trụ có trục là Δ và có bán kính là R.

Bài 15 (trang 53 sgk Hình Học 12 nâng cao):

Một mặt phẳng đi qau trục của hình trụ, cặt trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh 2R.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

b) Tính thể tích của khối trụ.

c) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ.

Lời giải:

Theo bài ra ta có hình trụ bá kính bằng đáy là R và đường sinh bằng 2R. từ đó suy ra:

a) S_xq=2 πR.2R=4 πR²

S_TP=S_zq+2S_đáy=4 πR²+2 πR²=6 πR²

b) V=πR².2R=2 πR³

c) Lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ là lăng trụ đứng có cạnh bên bằng 2R và có đáy là hình vuông có cạnh R √2 nên có thể có thể tích:

V_LT=2R² .2R=4R²(đvtt)

Bài 16 (trang 54 sgk Hình Học 12 nâng cao):

Một hình trụ có có bán kính đáy R và chiều cao √3 R

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

b) Tính thể tích của khói trụ giới hạn bởi hình trụ.

c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục hình trụ bằng 30^o. Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.

Lời giải:

a) Diện tích xung quanh của hình trụ: S_xq=2 πR.R √3=2√3 πR²

Diện tích toàn phần của hình trụ:

S_TP=S_xq+2S_đáy=2√3 πR²+2 πR²=2(√3+1)πR³

b) Thể tích của khối trụ: V_T=πR².R√3=√3 R³ (đvtt)

c) Giả thiết: OA = O’B = R

Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì O’A’ = R, AA’ = R√3 góc BAA’=30^o

VÌ OO’ // MP (ABA’) nên khoảng cách giữa OO’ và mp (ABA’) bằng khoẳng cách giữa OO’ và AB.

Gọi H là trung điểm của BA’ thì khoảng cách đó bằng O’H.

Tam giác BA’A thì khoảng cách đó bằng O’H.

Tam giác BA’A vuông tại A’ nên

Vậy BA’O là tam giác đều, và do đó:

Comments

comments