Bài 11 (trang 20 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Chứng minh rằng phép vị tự biến một đường thẳng a thành đường thẳng a’ song song a thành đường thẳng a’. hơn nữa (α) thành một mặt phẳng (α’) song song hoặc trùng với α.
Lời giải:
– Do phép vị tự biến ba điểm thằng hành thành 3 điểm thằng hàng nên nó biến đường thẳng a thành a’. Hơn nữa a’ song song hoặc trùng với a
Thật vậy, trên a lấy điểm A, B; Giả sử V0,k biến A thành A’ biến B thành B’.
Ta có:
– Trường hợp 1: K = 1 hoặc O ∈ a thì A’B’ = AB hay a = a’.
– Trường hợp 2: k ≠ 1 và O ∈a thì A’B’ // AB hay a’ // a
Phép vị tự V0,k biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên biến hai đường thẳng cắt nhau thành hai đường thẳng cắt nhau. Vậy nó biến mp(α) thành mặt phẳng (α0′). Hơn nữa mp(α’) song song hoặc trung với mp(α). Thật vậy:
– Nếu O ∈ (α) thì V0,k biến A ∈(α) thành A’ sao cho OA’→=kOA→.
=> A’∈OA hay A’∈mp(α) suy ra mp(α’)=mp(α).
– Nếu k=1 thì V0,k) biến A ∈mp(α) thành A’ = A nến mp(α’)=mp(α).
– Nếu O ∈ mp(α) và k ≠ 1. Trên mp(α) lấy hai đường thẳng a, b cắt a’, b tại A’ ( V0,k biến A thành A’) và a’ // a, b’ // a. Nên mp(α) chứa a’, b’ song song với mp(α) chứa (a, b).
Bài 12 (trang 20 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho một khối tứ diện đều, hãy chứng minh rằng.
a) Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều.
b) Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối tâm mặt đều
Lời giải:
a) Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD. A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm của các mặt đối diện với các đỉnh A, B, C, D. Theo tính chất của trọng tâm tứ diện đều, ta có:
Nên VG,1/3 biến A, B, C, D lần lượt thành A’, B’, C’, D’
hay VG,-1/3 biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’ nên A’B’C’D’ là tứ diện dều.
b) Xét tứ diện đều ABCD. Gọi M,N, P, Q, E, F lần lượt làn trung điểm của cạnh Ab, BC, CD, DA, AC, BD.
Dễ thấy E cùng với 4 điểm M, N, P, Q là các đỉnh của khối chóp tứ giác E.MNPQ có 4 mặt bên là tam giác đều. Ta cũng có F.MNPQ là khối chóp tam giác đều.
Vậy M, N, P, Q, E, F là các đỉnh của một khối 8 mặt đều.
Bài 13 (trang 20 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Hai đỉnh của một khối tam mặt đều cho trước gọi là các đỉnh khối diện nếu chung không thuộc cùng một cạnh của khối diện đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là một đường chéo của khối tam giác đều. chứng minh rằng trong khối tắm mặt đều:
a) Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
b) Ba đường chép đôi một vuông góc.
c) Ba đường chéo bằng nhau.
Lời giải:
Xét khối 8 mặt đều ABCDEF. Vì A, B, C, D cách đều E và F nên A, B, A, D cùng thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn EF và do đó ABCD là hình thoi ( vì AB = BC = CD = DA)
a) Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.
Tương tự, AC và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Vậy AC, BD, EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
b) Tứ giác ABCD là hình thoi nên ta cũng có AC ⊥ BD, tương tự AC ⊥ EF,BD ⊥ EF, vậy AC, BD, EF đôi một vuông góc.
c) Cách 1. Dễ thấy ΔABD=ΔEBD (c-c-c) nen các trung tuyến tương ứng bằng nhau tứ là AO = EO
=> AC = EF, tương tự, AC = BD.
Vậy AC = BD = EF (đpcm).
Cách 2. Vì EO ⊥ (ABCD) nên AO, OB là hình chiếu của EA, EB trên (ABCD) mà EA = EB => OA = OB => AC = DB. Tương tự, AC = EF.
Vậy AC = BD = EF.
Bài 14 (trang 20 sgk Hình Học 12 nâng cao): Chứng minh rằng:
a) Tâm các mặt của khối lập Phương cho trước là các đỉnh của một khối tám mặt đều.
b) Tám các mặt của một khối tám mặt đều cho trước là các đỉnh của khối lập Phương.
Lời giải:
a) Xét khối lập Phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. gọi O1, O2,O3,O4,O5,O6 lần lượt là tâm của các mặt phẳng ABCD, A’B’C’D’, ABB’A’, BCC’B’, CĐ’C’, DAA’D.
Ta có: O1 là trung điểm của BD, O3 là trung điểm của A’B’ nên:
Tương tự: O1 O4=O1 O5=O1 O6=O3 O4=O4 O5=O5 O6=O1 O6=O3O4=O4 O5=O5 O6=O6 O3=O2 O3=O2 O4=O2 O5=O2 O6=(a√2)/2
Vậy O1,O2,O3,O4,O_5,O_6 lần lượt là các đỉnh của một khối lập Phương.
b) Xét khối 8 mặt đều ABCDEF. Gọi O1, O2,O3,O4,O5,O6, O7, O8 lần lượt là trọng tâm của các mặt EAB, EBC, ECD, EDA, FAB, FBC, FCD, FDA.
– Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.
ta có: O1,O2 là trọng tâm ΔEAB, EBC nên:
=> O1 O2 // MN
=> O1 O2 // O3 O4 và O1 O2 // O_3 O4
=> Tứ giác O1 O2 3 O4 là hình bình hành.
Lại có: O1 O4 // BD, O1 O4=BD/3 kết hợp (*) và lưu ý rằng.
AC = DB, AC ⊥ BD => O1 O2=O1 O_4, O1 O3 ⊥ O1 O4 nên tứ giác O1 O2 O3 O4 là hình vuông.
– Hoàn toàn tương ứng ta có: O1 O2 O6 O5,O2 O3 O7 O6,O3 O4,O8 O7,O4 O1 O5 O8,O5 O6 O7 O8 là các hình vuông.
Vậy O1, O2,O3,O4,O5,O6, O7, O8 là các đỉnh của một khối lập Phương.