Trả lời câu hỏi Toán 10 Hình học Bài 2 trang 82: Cho hai điểm A(3; -4) và B(-3; 4).
Viết phương trình đường tròn (C) nhận AB là đường kính.
Lời giải
Gọi I là đường tròn nhận AB là đường kính
⇒ I là trung điểm của AB ⇒ I (0; 0)
⇒ R = AB/2 = 5
Phương trình đường tròn (C) nhận AB là đường kính là:
x2 + y2 = 25
Trả lời câu hỏi Toán 10 Hình học Bài 2 trang 82: Hãy cho biết phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn:
2x2 + y2 – 8x + 2y – 1 = 0;
x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0;
x2 + y2 – 2x – 6y + 20 = 0;
x2 + y2 + 6x + 2y + 10 = 0.
Lời giải
+ 2x2 + y2 – 8x + 2y – 1 = 0 không phải phương trình đường tròn vì hệ số của x2 khác hệ số của y2.
+ Phương trình x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0 có :
a = –1; b = 2; c = –4 ⇒ a2 + b2 – c = 9 > 0
⇒ phương trình trên là phương trình đường tròn.
+ Phương trình x2 + y2 – 2x – 6y + 20 = 0 có :
a = 1; b = 3; c = 20 ⇒ a2 + b2 – c = –10 < 0
⇒ phương trình trên không là phương trình đường tròn.
+ Phương trình x2 + y2 + 6x + 2y + 10 = 0 có :
a = –3; b = –1; c = 10 ⇒ a2 + b2 – c = 0 = 0
⇒ phương trình trên không là phương trình đường tròn.
Bài 1 (trang 83 SGK Hình học 10): Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a, x2 + y2– 2x – 2y – 2 = 0
b, 16x2 + 16y2 + 16x – 8y -11 = 0
c, x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0
Lời giải
Cách 1 : Xác định các hệ số a, b, c.
a) x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0 có hệ số a = 1 ; b = 1 ; c = –2
⇒ tâm I (1; 1) và bán kính
b) 16x2 + 16y2 + 16x – 8y –11 = 0
⇒ Đường tròn có tâm , bán kính
c) x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0
⇔ x2 + y2 – 2.2x – 2.(-3).x – 3 = 0
có hệ số a = 2, b = -3,c = -3
⇒ Đường tròn có tâm I(2 ; –3), bán kính
Cách 2 : Đưa về phương trình chính tắc :
a) x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0
⇔ (x2 – 2x + 1) + (y2 – 2y +1) = 4
⇔(x-1)2 + (y-1)2 = 4
Vậy đường tròn có tâm I(1 ; 1) và bán kính R = 2.
b) 16x2 + 16y2 + 16x – 8y – 11 = 0
Vậy đường tròn có tâm và bán kính R = 1.
c) x2 + y2 – 4x + 6y -3 = 0
⇔ (x2 – 4x + 4) + (y2 + 6y + 9) = 4 + 9 + 3
⇔ (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16
Vậy đường tròn có tâm I( 2 ; –3) và bán kính R = 4.
Kiến thức áp dụng
+ Phương trình chính tắc của đường tròn tâm I(a ; b) và bán kính bằng R là :
+ Ngoài ra phương trình đường tròn còn được viết dưới dạng : x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
Trong đó I(a ; b) là tâm đường tròn và bán kính
Bài 2 (trang 83 SGK Hình học 10): Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a, (C) có tâm I(-2; 3) và đi qua M(2; -3);
b, (C) có tâm I(-1; 2) và tiếp cúc với đường thẳng x – 2y +7 =0
c, (C) có đường kính AB với A = (1; 1) và B = (7; 5).
Lời giải
a) (C) có tâm I và đi qua M nên bán kính R = IM
Vậy đường tròn (C) : (x + 2)2 + (y – 3)2 = 52.
b) (C) tiếp xúc với (Δ) : x – 2y + 7 = 0
⇒ d(I; Δ) = R
Vậy đường tròn (C) :
c) (C) có đường kính AB nên (C) có :
+ tâm I là trung điểm của AB
Vậy đường tròn (C) : (x – 4)2 + (y – 3)2 = 13.
Kiến thức áp dụng
Để viết phương trình đường tròn ta cần xác định :
+ Tâm I(a ; b)
+ Bán kính R.
Khi đó phương trình đường tròn (x – a)2 + (y – b)2 = R2.
Bài 3 (trang 84 SGK Hình học 10): Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm:
a, A(1; 2), B(5; 2), C(1; -3)
b, M(-2; 4), N(5; 5), P(6; -2)
Lời giải
Gọi phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0.
a) A(1; 2) ∈ (C) ⇔ 12 + 22 – 2.a.1 – 2.b.2 + c = 0 ⇔ 2a + 4b – c = 5 (1)
B(5; 2) ∈ (C) ⇔ 52 + 22 – 2.5.x – 2.2.y + c = 0 ⇔ 10x + 4y – c = 29 (2)
C(1; –3) ∈ (C) ⇔ 12 + (–3)2 – 2.a.1 – 2.b.(–3) + c = 0 ⇔ 2a – 6b – c = 10 (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình :
Giải hệ phương trình trên ta được nghiệm a = 3, b = –1/2, c = –1.
Vậy đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là : x2 + y2 – 6x + y – 1 = 0.
b)
M(–2 ; 4) ∈ (C) ⇔ (–2)2 + 42 – 2.a.(–2) – 2.b.4 + c = 0 ⇔ 4a – 8b + c = –20 (1)
N(5; 5) ∈ (C) ⇔ 52 + 52 – 2.a.5 – 2.b.5 + c = 0 ⇔ 10a + 10b – c = 50 (2)
P(6; –2) ∈ (C) ⇔ 62 + (–2)2 – 2.a.6 – 2.b.(–2) + c = 0 ⇔ 12a – 4b – c = 40 (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình trên ta được nghiệm a = 2, b = 1, c = –20.
Vậy đường tròn đi qua ba điểm M, N, P là : x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0.
Kiến thức áp dụng
Đường tròn (C) có tâm I(a ; b) và bán kính R có hai cách viết phương trình :
(C) : (x – a)2 + (y – b)2 = 0
hoặc (C) : x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (Với c = a2 + b2 – R2).
Bài 4 (trang 84 SGK Hình học 10): Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và qua điểm M(2; 1).
Lời giải
Gọi đường tròn cần tìm là (C) có tâm I(a ; b) và bán kính bằng R.
(C) tiếp xúc với Ox ⇒ R = d(I ; Ox) = |b|
(C) tiếp xúc với Oy ⇒ R = d(I ; Oy) = |a|
⇒ |a| = |b|
⇒ a = b hoặc a = –b.
+ TH1: Xét a = b thì I(a; a), R = |a|
Ta có: M ∈ (C) ⇒ IM = R ⇒ IM2 = R2
⇒ (2 – a)2 + (1 – a)2 = a2
⇔ a2 – 6a + 5 = 0
⇔ a = 1 hoặc a = 5.
* a = 1 ⇒ I(1; 1) và R = 1.
Ta có phương trình đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1.
* a = 5 ⇒ I(5; 5), R = 5.
Ta có phương trình đường tròn (C) : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 25.
+ TH2: Xét a = –b thì I(a; –a), R = |a|
Ta có: M ∈ (C) ⇒ IM = R ⇒ IM2 = R2
⇒ (2 – a)2 + (1 + a)2 = a2
⇔ a2 – 2a + 5 = 0 (Phương trình vô nghiệm)
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn là: (C): (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1 hoặc (C) : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 25.
Kiến thức áp dụng
+ Đường tròn (C) có tâm I(a ; b) và bán kính R có hai cách viết phương trình :
(C) : (x – a)2 + (y – b)2 = 0
hoặc (C) : x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (Với c = a2 + b2 – R2).
+ Đường tròn (C) có tâm I, bán kính R tiếp xúc với đường thẳng Δ ⇔ d(I; Δ) = R.
Bài 5 (trang 84 SGK Hình học 10): Lập phương trình của đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm nằm trên đường thẳng 4x – 2y – 8 = 0
Lời giải
Kiến thức áp dụng
+ Đường tròn (C) có tâm I(a ; b) và bán kính R có hai cách viết phương trình :
(C) : (x – a)2 + (y – b)2 = 0
hoặc (C) : x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (Với c = a2 + b2 – R2).
+ Đường tròn (C) có tâm I, bán kính R tiếp xúc với đường thẳng Δ ⇔ d(I; Δ) = R.
Bài 6 (trang 84 SGK Hình học 10): Cho đường tròn C có phương trình: x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0
a, Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C)
b, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(-1; 0)
c, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng: 3x – 4y + 5 = 0.
Lời giải
a) x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0
⇔ (x2 – 4x + 4) + (y2 + 8y + 16) = 25
⇔ (x – 2)2 + (y + 4)2 = 25.
Vậy (C) có tâm I(2 ; –4), bán kính R = 5.
b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường tròn ta thấy:
(–1 – 2)2 + (0 + 4)2 = 32 + 42 = 25 = R2
⇒ A thuộc đường tròn (C)
⇒ tiếp tuyến (d’) cần tìm tiếp xúc với (C) tại A
⇒ (d’) là đường thẳng đi qua A và vuông góc với IA
⇒ (d’) nhận là một vtpt và đi qua A(–1; 0)
⇒ phương trình (d’): 3x – 4y + 3 = 0.
c) Gọi tiếp tuyến vuông góc với (d) : 3x – 4y + 5 = 0 cần tìm là (Δ).
(d) có là một vtpt
(Δ) ⊥ (d) ⇒ (Δ) nhận là một vtpt
⇒ (Δ): 4x + 3y + c = 0.
(C) tiếp xúc với (Δ) ⇒ d(I; Δ) = R
Vậy (Δ) : 4x + 3y + 29 = 0 hoặc 4x + 3y – 21 = 0.