Bài 1 (trang 18 SGK Giải tích 12): Áp dụng Quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x³ + 3x² – 36x – 10 ; b) y = x⁴ + 2x² – 3;

Lời giải

a) TXĐ: D = R

y’ = 6x² + 6x – 36 = 6(x² + x – 6)

y’ = 0 => x = -3 hoặc x = 2

Bảng biến thiên:

Vậy đồ thị của hàm số có điểm cực đại là (-3; 71) và điểm cực tiểu là (2; -54).

b) TXĐ: D = R

y’= 4x³ + 4x = 4x(x² + 1) = 0; y’ = 0 => x = 0

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số có điểm cực tiểu là (0; -3).

c) TXĐ: D = R \ {0}

y’ = 0 => x = ±1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số có điểm cực đại là x_CĐ = -1 và điểm cực tiểu là x_CT = 1.

d) TXĐ: D = R

y’= 3x²(1 – x)² – 2x³(1 – x) = x²(5x² – 8x + 3)

y’ = 0 => x = 0; x = 1 hoặc x = 3/5

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số cực đại x_CĐ = 3/5 và điểm cực tiểu x_CT = 1

(Lưu ý: x= 0 không phải là cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi đi qua x = 0.)

Vậy D = R.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số có điểm cực tiểu x_CT = 1/2.

Bài 2 (trang 18 SGK Giải tích 12): Áp dụng Quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) y = x⁴ – 2x² + 1 ;         b) y = sin2x – x

c) y = sinx + cosx ;         d) y = x⁵ – x³ – 2x + 1

Lời giải:

a) TXĐ: D = R.

y’ = 4x³ – 4x

y’= 0 => x = 0; x = ±1.

y” = 12x² – 4

y”(0) = -1 < 0 => x = 0 là điểm cực đại của hàm số.

y”(±1) = 8 > 0 > x = -1 và x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

b) TXĐ: D = R

y’ = 2cos2x – 1;

c) TXĐ: D = R

d) TXĐ: D = R

y’= 5x⁴ – 3x² – 2

y’ = 0 => x ±1.

y” = 20x³ – 6x

y”(-1) = -20 + 6 = -14 < 0 => x = -1 là điểm cực đại của hàm số.

y”(1) = 20 – 6 = 14 > 0 => x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

Bài 3 (trang 18 SGK Giải tích 12): Chứng minh hàm số y = √|x| không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt được cực tiểu tại điểm đó.

Lời giải:

Tính theo định nghĩa đạo hàm tại x_o = 0 ta có:

Nghĩa là hàm số y = √|x| không có đạo hàm tại x = 0. (1)

Mặt khác ta có: √|x| ≥ 0 ∀ x. Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Do đó hàm số y = √|x| đạt cực tiểu tại x = 0. (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

Bài 4 (trang 18 SGK Giải tích 12): Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số

y = x³ – mx² – 2x + 1

luôn luôn có một cực đại và một điểm cực tiểu.

Lời giải:

Xét hàm số y = x³ – mx² – 2x + 1 ta có:

TXĐ: D = R

y’ = 3x² – 2mx – 2

Với mọi giá trị của m ta đều có x₁ < 0 < x₂.

Bảng biến thiên:

Từ bảng trên ta thấy hàm số luôn có một điểm cực đại x_CĐ = x₁ và một điểm cực tiểu x_CT = x₂ với mọi giá trị của m (đpcm).

Comments

comments