Bài 34 (trang 174 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị hai hàm số y = x, y = 1 và y=x2/4 trong miền x ≥ 0;y ≤ 1
b) Đồ thị hai hàm số y=x4-4x2+4;y=x2, trục tung và đường thẳng x = 1
c) Đồ thị các hàm số y=x2,y=4x-4 và y=-4x-4
Lời giải:
a) Cách 1.
Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = x và y = 1 là x = 1
Hoành độ giao điểm của đường thẳng y= 1 và đường cong y=x2/4 trong miền x ≥ 0 là x=2.
Diện tích hình phẳng cần tìm chính là tổng diện tích tam giác cong OAC và tam giác cong ACB.
Diện tích tam giác cong OAC là:
Diện tích tam giác cong ACB là:
Vật diện tích hình phẳng cần tìm là:
Cách 2. Gọi hình phẳng đã cho là hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương trình x=2 √y,dường thẳng x = y và y = 0 và đường thẳng y = 1. Diện tích cần tìm là:
b) Diện tích hình phẳng cần tìm là:
Vì x4-5x2+4=(x2-1)(x2-4)>-0 ∀x ∈[0;1]
c) Ta thấy đường thẳng y=-4x-4 và đường thẳng y=4x-4 lần lượt là hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x2 tại các tiếp điểm có hoành độ x = -2 và x = 2
Do tính đối xứng qua Oy của parabol y=x2 nên diện tích hình phẳng cần tìm bằng 2 lần diện tích tam giác OMT2 và bằng:
Bài 35 (trang 175 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a) Đồ thị hai hàm số y=x2+1 và y=3-x
b) Các đường có Phương trình x=y3,y=1,x=8
c) Đồ thị hai hàm số y=√x,y=6-x và trục hoành
Lời giải:
a) Hoành độ giao điểm của hai đồi thị hàm số yx2+1 và y=3-x là nghiệm của phương trình:
Vậy diện tích cần tìm là:
b) Tung độ giao điểm của đường cong x=y2 và đường thẳng x = 8 là nghiệm của phương trình y3=8 <=> y = 2. Vậy diện tích cần tìm là:
c) Ta có: y=√x <=> x2=y (y ≥ 0);y=6-x <=> x = 6 – y
Tung độ giao điểm của hai đường thẳng x=y2;x=6-y là nghiệm của phương trình
Vậy diện tích cần tìm:
Bài 36 (trang 175 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
Tính thể tích vật thể T nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x =π, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ π) là một hình vuông cạnh là 2 √(sinx )
Lời giải:
Diện tích thiết diện là
Vật thể tích của vật T cần tìm là:
Bài 37 (trang 175 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y=x^2,y=0,x=0 và x=2. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.
Lời giải:
Thể tích khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức
Vậy thể tích cần tìm là:
Bài 38 (trang 175 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường cong y=cosx,y=0,x=0,x=π/4. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh hình A quanh trục hoành.
Lời giải:
Thể tích cần tìm là:
Bài 39 (trang 175 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y=x.ex/2,y=0,x=0,x=1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.
Lời giải:
Bài 40 (trang 175 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khí quay hình B quanh trục tung.
Lời giải:
Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là:
