Bài 62 (trang 57 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đường cong đã cho là tâm đối xứng của nó.
Lời giải:
a) TXĐ: D = R \ {-1}
Sự biến thiên:
Hàm số luôn đồng biến trên D.
Giới hạn:
Vậy đồ thị có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng x = -1
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số
Giao với Ox: (1; 0)
Giao với Oy: (0; -1)
Ta có giao điểm của 2 tiệm cận I(-1; 1)
Áp dụng công thức đổi trục
Thay vào hàm số
=> f(x) là hàm số lẻ. vậy f(x) nhận I(-1; 1) làm tâm đối xứng.
Bài 63 (trang 57 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) hàm số
b)Chứng minh rằng đường thẳng y=mx+m-1 luôn đi qua 1 điểm cố đinh của đường cong (H) khi m biến thiên.
c) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong (H) tại 2 điểm thuộc cùng một nhánh của (H).
Lời giải:
Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng
Hàm số không có cực trị
Giới hạn:
Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng x=-1/2
Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng ngang là đường thẳng y=1/2
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Giao với Ox: (-2; 0)
Giao với Oy: (0; 2)
b) Gọi điểm cố định mà đường thẳng y=mx+m-1 luôn đi qua là I.
vào phương trình y=mx+m-1
Vậy đường thẳng y=mx+m-1 luôn đi qua 1 điểm cố định I =(-1; -1) của đường cong (H) khi m biến thiên.
Bài 64 (trang 57 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
Cho hàm số
a) Tìm a và b biết đồ thị (C) của hàm số đã cho đi qua qua điểm A(-1;5/2) và tiếp tuyến của (C) tại điểm O(0; 0) có hệ số góc bằng -3.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị của a và b đã tìm được.
Lời giải:
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm O(0; 0) của đồ thị (C) ta có:
k=y’ (0)=-3 <=> b=-3 (1)
Mặt khác ta có đồ thị hàm số (C) qua điểm A(-1;5/2)
Từ (1) thế vào (2) ta được:
Vậy ta có giá trị của a, b là: a = -2; b = -3
b) Khảo sát sự biến thiên và đồ thị hàm số (C ).
TXĐ: D \ {1}
=> y < 0 ∀x ∈ R \ {1}
Vậy đồ thị có hàm số một tiệm cận đứng là đường thẳng: x = 1.
Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận xiên là đường thẳng y=-2x+1.
Bảng biến thiên:
Bài 65 (trang 58 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
a) Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thì hàm số:
b) Với giá trị nào của m đường thẳng y=m-x cắt đồ thị của hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt?
c) Gọi A và B là 2 giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn AB nói trên m thay đổi.
Lời giải:
a) TXĐ: D = R \ {1}
Sự biến thiến:
Hàm số đồng biến (-∞;0)∪(2; +∞)
Hàm số nghịch biến (0; 1) ∪(1;2)
Cực trị: yCĐ=-1 khi x = 0
yCT=7 khi x = 2
Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1
Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận là đường thẳng: y=2x+1
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số
Hoành độ giao điểm của đường thẳng y=m-x và đồ thị hàm số nghiệm của Phương trình:
<=> (m-x)(x-1)=2x2-x+1,x ≠ 1
<=> f(x)=3x2-x(2+m)+m+1=0,f(1) ≠ 0
Để đường thẳng (C ) tại 2 điểm phân biệt thì: Δ>0 và f(1) ≠ 0
Ta có: Δ=(2+m)2-4.3(m+1)>0
=m2-8m-8>0
c) Gọi A(xA;yA ),B(xB,yB) là hai điểm đó
gọi M(xM;yM ) là trung điểm của AB
=> yM=m-xM=6xM-2-xM=5xM-2
Vậy tập hợp trung điểm M của đoạn AB khi m biến thiên là: y=5x-2
Bài 66 (trang 58 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
Tìm các hệ số a, b parabol y=2x2+ax+b tiếp xúc với hypebol y=1/x tại điểm M(1/2;2)
Lời giải:
Tiếp điểm M chính là nghiệm của hệ phương trình:
Thay hoành độ của tiếp điểm (M) vào hệ phương trình (I) khi đó (I) trở thành:
thì parabol sẽ tiếp xúc với hyperbol tại điểm M.
Bài 67 (trang 58 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
Một tạp chí với giá 20 nghìn đồng muột cuốn. chi phí cho xuất bản x cuốn tạp chị (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in, …) được cho bởi C(x) = 0,0001x0-0,2x+10000
C(x) được tính theo đơn vị vạn đồng. Chi phí hành cho mỗi là 4 nghìn đồng.
10. a) Tính tổng chi phí T(x) (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí.
b) Tỉ số M(x) = T(x)/x được gọi là chi phí trung bình cho chi phí trung bình là thấp nhất.
20. Các khoản thu bao gồm tiền sách và 90 triệu đồng nhận được từ quảng cáo và sự trợ giúp của báo chí. Giả sử số cuốn in ta đều bán được hết.
a) Chứng minh rằng số tiền lãi khi x cuốn tạp chí là
L(x)=-0,0001x2+1,8x-1000
b) Hỏi in bao nhiêu cuốn thì có lãi?
c) In bao nhiêu cuốn thì lãi nhiều nhất? tính số tiền lãi đó.
Lời giải:
10. a) Chi phí phát hành cho x cuốn sách là 0,4x (đơn vị vạn đồng). Vậy tổng chi phí T(x) (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí là:
T(x)=C(x)+0,4x=0,0001x2+0,2x+10000
b)
Để chi phí trung bình là thấp nhất thì cần xuất bản 10000 cuốn tạp chí.
20. a) Số tiền lãi khi in x cuốn tạp chí là:
L(x)=2x+9000-T(x)=2x+9000-(0,0001x2+0,2x+10000)
=-0,0001x2+1,8x-1000
b) để có lãi thì L(x) > 0
<=> -0,0001x2+1,8x-1000 > 0<=> 573 < x < 17427
c) L(x) = -0, 0002x +1, 8; L’ (x)=0 <=> x=9000
vhàm số L(x) đạt giá trị lớn nhất tại x = 9000
vậy in 9000 cuốn sách thì lãi nhiều nhất.
số tiền lãi là: L(9000) = 71.000.000 đồng.