Bài 58 (trang 56 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Với các giá trị nào của m thì (d_m) đi qua điểm A(-2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị của hàm số đã cho.

– Tại 2 điểm phận biệt?

– Tại 2 điểm thuộc 2 nhánh 2 của đồ thị?

Lời giải:

– Hàm số luôn đồng đồng biến trong khoảng (-∞; -1)và (-1;+∞)

– Hàm số không có cực trị.

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng: x = -1.

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng: y = 2.

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số

nhận điểm I là giao điểm của 2 tiệm cận làm tâm đối xứng I(-1; 2). Đồ thị đi qua A(0; -1), B(1/2;0),C(1;1/2);D(2;1)

b) Đường thẳng (d_m) qua điểm A(-2; 2) có hệ số góc m là:

y=m(x+2)+2

<=> y=mx+2m+2

Để (d_m) cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình sau phải có 2 nghiệm phân biệt ≠ -1

<=> f(x)=mx²+3mx+2m+3=0 (1)

Và f(-1) ≠ 0

Để (1) có 2 nghiệm phân biệt thì: Δ>0,f(-1) ≠ 0

Ta có: Δ=(3m)²-4(2m+3)m>0

= m²-12m>0

Vậy với m ∈(-∞;0) và (12,+∞) thì đường thẳng (d_m) sẽ cắt đồ thị hàm số (C) tại 2 điểm phân biệt.

– Để (d_m) cắt đồ thị hàm số (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị thì:

x₁<-1<x₂ hay af(-1)<0

<=> m(m(-1)²+3m(-1)+2m+3)<0 <=> 3m<0 <=> m < 0

Vậy với m ∈(-∞;0) thì đường thẳng (d_m) sẽ cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt ∈ 2 nhánh đồ thị.

Bài 59 (trang 56 sgk Giải Tích 12 nâng cao): 

Chứng minh rằng các đồ thị của 3 hàm số: f(x) = -x²+3x+6;g(x)=x³-x²+4 và h(x) = x²+7x+8 tiếp xúc với nhau tại điểm A(-1; 2)

Lời giải:

Nếu 3 hàm số trên tiếp xúc với nhau tại A(-1; 2) thì tại đó 3 hàm số có tiếp tuyến chung hay hệ số góc của các tiếp tuyến bằng nhau. Ta có:

+ f’(x) = -2x+3=>f’ (-1)=5

+ g’(x) = 3x²-2x=>g’ (-1)=5

+ h’(x) = 2x+7=>h’ (-1)=5

Vậy 3 hàm số trên tiếp xúc với nhau nhau tại A(-1; 2)