Bài 1
Cho lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A’B’C’D’E’F’. O và O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy, mặt phẳng (P) đi qua trung điểm của OO’ và cắt các cạnh bên của lăng trụ. Chứng minh rằng (P) của lăng trụ đã cho thành hai đa diện có thể tích bằng nhau.
LỜI GIẢI:
Gọi I là trung điểm của OO’
ABCDEF.A’B’C’D’E’F’ là hình lăng trụ lục giác đều nên I là tâm đối xứng của các hình chữ nhật ADD’A’, BEE’B’, CFF’C’. Vậy nếu mp(P) đi qua I và cắt các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’, EE’, FF’ theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q, R, S thì I là trung điểm của MQ, NR và PS
Suy ra phép đối xứng qua điểm I biến ABCDEF.MNPQRS thành D’E’F’A’B’C’.QRSMNP.
Nghĩa là ABCDEF.MNPQRS và D’E’F’A’B’C’. QRSMNP là hai khối da điện bằng nhau.
Vậy hai khối đa diện nói trên có thể tích bằng nhau.
Bài 2
Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B’C’ và C’D’. Mặt phẳng (AEF) chia khối lập phương đó thành hai khối đa diện (H) và (H’) trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh A’. Tính thể tích của (H).
LỜI GIẢI
Bài 3
Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính r. Hình nón có đường tròn đáy (C) và đỉnh I thuộc (S) được gọi là hình nón nội tiếp mặt cầu (S). Gọi h là chiều cao của hình nón đó.
a) Thể tích của khối nón theo r và h.
b) Xác định h để thể tích của hình nón là lớn nhất.
LỜI GIẢI
Bài 4
Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; 2; -1), B(7; -2; 3) và đường thẳng d có phương trình
LỜI GIẢI:
Bài 5
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết rằng AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm.
a)Tính thể tích tứ diện ABCD
b)Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD)
LỜI GIẢI
Bài 6
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x2+ y2 + z2 = 4a2 (a > 0).
a)Tính diện tích của mặt cầu (S) và thể tích của khối cầu tương ứng.
b)Mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (Oxy) theo đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của (C).
c)Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ nhân (C) làm đáy và có chiều cao bằng a . Tính thể tích của khối trụ tương ứng.
LỜI GIẢI
Bài 7
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng:
LỜI GIẢI
Bài 8
Trong không gian Oxyz cho các điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3)
a) Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng phẳng
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tính khoảng cách từ D đến (ABC).
c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 9
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(2; 4; -1), B (1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
a) Chứng minh rằng các đường thẳng AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
b) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D
c) Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mp(ABD).
LỜI GIẢI
Bài 10
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng …
LỜI GIẢI
Bài 11
Trong không gian Oxyz cho các điểm A(-1; 2; 0); B(-3; 0; 2), C(1; 2; 3), D(0; 3; -2)
a)Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và phương trình tham số của đường thẳng AD.
b)Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa AD và song song với BC.
LỜI GIẢI
Bài 12
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1) và D(-1; 1; 2)
a)Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện
b)Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD)
c)Tìm tọa độ tiếp điểm của (S) và mặt phẳng (BCD)
LỜI GIẢI
Bài 13
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng …
LỜI GIẢI
Bài 14
Trong không gian cho ba điểm A, B, C.
Bài 15
Cho hai đường thẳng chéo nhau:
a)Viết phương trình các mặt phẳng (α) và ( β) song song với nhau và lần lượt chứa d và d’.
b)Lấy hai điểm M(2; -1; 1) và M'(2; 0; 1) lần lượt trên d và d’. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( β) và khoảng cách từ M’ đến mặt phẳng (α). So sánh hai khoảng cách đó.
LỜI GIẢI
Bài 16
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α) có phương trình 4x + y + 2z + 1 =0 và mặt phẳng ( β) có phương trình 2x – 2y + z + 3 = 0
a) Chứng minh rằng (α) cắt ( β)
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng d là giao của (α) và ( β)
c) Tìm điểm M’ là ảnh của M(4; 2; 1) qua phép đối xứng qua mặt phẳng (α).
d) Tìm điểm N’ là ảnh của N(0; 2; 4) qua phép đối xứng qua đường thẳng d.
LỜI GIẢI
