![[Giải Toán 10] Chương 1: Mệnh đề – Tập hợp/ Bài 1: Mệnh đề](https://lop12.edu.vn/wp-content/uploads/2019/10/sai.png "[Giải Toán 10] Chương 1: Mệnh đề – Tập hợp/ Bài 1: Mệnh đề")
Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 1 trang 4: Nhìn vào hai bức tranh ở trên, hãy đọc và so sánh các câu ở bên trái và bên phải.
Lời giải
Các câu ở bên trái là các câu khẳng định, có tính đúng sai
Các câu ở bên phải không thể nói là đúng hay sai
Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 1 trang 4: Nêu ví dụ về những câu là mệnh đề và những câu không là mệnh đề.
Lời giải
VD về câu là mệnh đề:
5 là số nguyên tố
Sắt là kim loại.
VD về câu không phải là mệnh đề:
Hôm nay là thứ mấy?
Trời đẹp quá!
Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 1 trang 5: Xét câu “x > 3”. Hãy tìm hai giá trị thực của x để từ câu đã cho, nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.
Lời giải
Với x = 5, mệnh đề nhận được là mệnh đề đúng
Với x =1, mệnh đề nhận được là mệnh đề sai
Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 1 trang 6: Hãy phủ định các mệnh đề sau:
P: “ π là một số hữu tỉ”;
Q: “Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh thứ ba”.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề trên và mệnh đề phủ định của chúng.
Lời giải
Mệnh đề phủ định của P: P− “ π không là một số hữu tỉ”.
P là mệnh đề sai, P− là mệnh đề đúng.
Mệnh đề phủ định của Q: Q− “Tổng hai cạnh của một tam giác nhỏ hơn hoặc bằng cạnh thứ ba”.
Q là mệnh đề đúng, Q− là mệnh đề sai.
Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 1 trang 6: Từ các mệnh đề:
P: “Gió mùa Đông Bắc về”
Q: “Trời trở lạnh”
Hãy phát biểu mệnh đề P ⇒ Q
Lời giải
P ⇒ Q: “ nếu gió mùa Đông Bắc về thì trời trở lạnh.”
Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 1 trang 7: Cho tam giác ABC. Từ các mệnh đề
P: “Tam giác ABC có hai góc bằng 60o ”
Q: “ABC là một tam giác đều”
Hãy phát biểu định lí P ⇒ Q. Nêu giả thiết, kết luận và phát biểu lại định lí này dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ.
Lời giải
P ⇒ Q: “ Nếu tam giác ABC có hai góc bằng 60o thì ABC là một tam giác đều”
Giả thiết: “Tam giác ABC có hai góc bằng 60o ”
Kết luận: “ABC là một tam giác đều”
Phát biểu lại định lí này dưới dạng điều kiện cần: “ABC là một tam giác đều là điều kiện cần để tam giác ABC có hai góc bằng 60o”
Phát biểu lại định lí này dưới dạng điều kiện đủ : “Tam giác ABC có hai góc bằng 60o là điều kiện đủ để ABC là tam giác đều”
Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 1 trang 7: Cho tam giác ABC. Xét các mệnh đề dạng P ⇒ Q sau
a)Nếu ABC là một tam giác đều thì ABC là một tam giác cân.
b)Nếu ABC là một tam giác đều thì ABC là một tam giác cân và có một góc bằng 60o
Hãy phát biểu các mệnh đề Q ⇒ P tương ứng và xét tính đúng sai của chúng.
Lời giải
a) Nếu ABC là một tam giác cân thì ABC là tam giác đều
Đây là mệnh đề sai
b) Nếu ABC là một tam giác cân và có một góc bằng 60o thì ABC là một tam giác đều
Đây là mệnh đề đúng
Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 1 trang 8: Phát biểu thành lời mệnh đề sau:
∀n ∈ Z : n + 1 > n
Mệnh đề này đúng hay sai ?
Lời giải
Với mọi n thuộc tập số nguyên, n + 1 lớn hơn n
Mệnh đề này đúng
Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 1 trang 8: Phát biểu thành lời mệnh đề sau:
∃ x ∈ Z : x2 = x
Mệnh đề này đúng hay sai ?
Lời giải
Tồn tại số nguyên mà bình phương của nó bằng chính nó.
Mệnh đề này đúng vì 0 ∈ Z; 02 = 0, 12 = 1.
Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 1 trang 8: Hãy phát biểu mệnh đề phủ định của mệnh đề sau
P: “Mọi động vật đều di chuyển được”.
Lời giải
“Tồn tại động vật không di chuyển được”
Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 1 trang 9: Hãy phát biểu mệnh đề phủ định của mệnh đề sau
P: “Có một học sinh của lớp không thích học môn Toán”.
Lời giải
“Tất cả học sinh của lớp đều thích học môn Toán”
Bài 1 (trang 9 SGK Đại số 10): Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến?
a) 3 + 2 = 7 ; b) 4 + x = 3;
c) x + y > 1 ; d) 2 – √5 < 0
Lời giải:
a) 3 + 2 = 7 là mệnh đề và là mệnh đề sai
Vì 3 + 2 = 5 ≠ 7
b) 4 + x = 3 là mệnh đề chứa biến
Vì với mỗi giá trị của x ta được một mệnh đề.
Ví dụ : với x = 1 ta có mệnh đề « 4 + 1 = 3 ».
với x = –1 ta có mệnh đề « 4 + (–1) = 3 ».
với x = 0 ta có mệnh đề 4 + 0 = 3.
c) x + y > 1 là mệnh đề chứa biến
Vì với mỗi cặp giá trị của x, y ta được một mệnh đề.
Ví dụ : x = 0 ; y = 1 ta có mệnh đề « 0 + 1 > 1 »
x = 1 ; y = 3 ta có mệnh đề « 1 + 3 > 1 ».
d) 2 – √5 < 0 là mệnh đề và là mệnh đề đúng
Vì 2 = √4 và √4 < √5.
Kiến thức áp dụng
+ Mỗi mệnh đề đều có tính đúng hoặc sai ; không thể vừa đúng vừa sai.
+ Mệnh đề chứa biến là mệnh đề mà với mỗi giá trị của biến sẽ cho ta một mệnh đề.
Bài 2 (trang 9 SGK Đại số 10): Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của nó:
a) 1794 chia hết cho 3 ; b) √2 là một số hữu tỉ
c) π < 3, 15 ; d) |-125| ≤ 0
Lời giải:
a) Mệnh đề « 1794 chia hết cho 3 » đúng vì 1794 : 3 = 598
Mệnh đề phủ định: “1794 không chia hết cho 3”
b) Mệnh đề “√2 là số hữu tỉ’’ sai vì √2 là số vô tỉ
Mệnh đề phủ định: “√2 không phải là một số hữu tỉ”
c) Mệnh đề π < 3, 15 đúng vì π = 3,141592654…
Mệnh đề phủ định: “π ≥ 3, 15”
d) Mệnh đề ‘’|–125| ≤ 0’’ sai vì |–125| = 125 > 0
Mệnh đề phủ định: “|–125| > 0”
Kiến thức áp dụng
+ Ta được mệnh đề phủ định của mệnh đề P khi thêm (hoặc bớt) từ “không” (hoặc “không phải”) vào trước vị ngữ của mệnh đề P.
+ Kí hiệu mệnh đề phủ định của mệnh đề P là P−.
+ P đúng thì P− sai và ngược lại; P sai thì P− đúng.
Kiến thức mở rộng
Chứng minh √2 là số vô tỉ:
Giả sử √2 là số hữu tỉ.
Mọi số hữu tỉ đều viết được dưới dạng phân số nên tồn tại số nguyên p, q thỏa mãn √2 = p/q với (p; q) = 1.
Khi đó p2 / q2 = 2 nên p2 ⋮ 2, suy ra p ⋮ 2. Đặt p = 2k.
Khi đó (2k)2 = 2. q2 ⇒ 4k2 = 2q2 ⇒ q2 = 2k2 ⇒ q2 ⋮ 2 ⇒ q ⋮ 2.
Vậy p ⋮2 và q ⋮ 2, trái với điều kiện (p; q) = 1.
Vậy √2 là số vô tỉ. 8
Bài 3 (trang 9 SGK Đại số 10): Cho các mệnh đề kéo theo:
Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c (a, b, c là những số nguyên).
Các số nguyên tố có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5.
Một tam giác cân có hai đường trung tuyến bằng nhau.
Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau.
a) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề trên.
b) Hãy phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện đủ”.
c) Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần”.
Lời giải:
| Mệnh đề | Mệnh đề đảo | Phát biểu bằng khái niệm “ điều kiện đủ” | Phát biểu bằng khái niệm “điều kiện cần” |
| Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c. | Nếu a + b chia hết cho c thì cả a và b đều chia hết cho c. | a và b chia hết cho c là điều kiện đủ để a + b chia hết cho c. | a + b chia hết cho c là điều kiện cần để a và b chia hết cho c. |
| Các số nguyên có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5. | Các số nguyên chia hết cho 5 thì có tận cùng bằng 0. | Một số nguyên tận cùng bằng 0 là điều kiện đủ để số đó chia hết cho 5. | Các số nguyên chia hết cho 5 là điều kiện cần để số đó có tận cùng bằng 0. |
| Tam giác cân có hai đường trung tuyến bằng nhau | Tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau là tam giác cân. | Tam giác cân là điều kiện đủ để tam giác đó có hai đường trung tuyến bằng nhau. | “Hai trung tuyến của một tam giác bằng nhau là điều kiện cần để tam giác đó cân. |
| Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau | Hai tam giác có diện tích bằng nhau là hai tam giác bằng nhau. | Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để hai tam giác đó có diện tích bằng nhau. | Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác đó bằng nhau. |
Kiến thức áp dụng
Nếu ta có mệnh đề P ⇒ Q thì ta nói
+ P là điều kiện đủ để có Q hoặc Q là điều kiện cần để có P.
+ Q ⇒ P là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q.
Bài 4 (trang 9 SGK Đại số 10): Phát biểu mỗi mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần và đủ”.
a) Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại.
b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại.
c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương.
Lời giải:
a) Điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 9 là tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.
b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là điều kiện cần và đủ để nó là một hình thoi.
c) Để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần và đủ là biệt thức của nó dương.
Kiến thức áp dụng
+ Nếu P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương.
+ Kí hiệu: P ⇔ Q đọc là P tương đương với Q, hoặc P là điều kiện cần và đủ để có Q.
Bài 5 (trang 10 SGK Đại số 10): Dùng kí hiệu ∀, ∃ để viết các mệnh đề sau:
a) Mọi số nhân với 1 đều bằng chính nó.
b) Có một số cộng với chính nó bằng 0.
c) Mọi số cộng với số đối của nó đều bằng 0.
Lời giải:
a) ∀ x ∈ R: x.1 = x
b) ∃ a ∈ R: a + a = 0
c) ∀ x ∈ R: x + (-x) = 0
Kiến thức áp dụng
+ ∀ : đọc là với mọi.
+ ∃ : đọc là tồn tại.
Bài 6 (trang 10 SGK Đại số 10): Phát biểu thành lời mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó.
a) ∀ x ∈ R : x2 > 0 ; b) ∃ n ∈ N : n2 = n
c) ∀ n ∈ N; n ≤ 2n d) ∃ x ∈ R : x < 1/x.
Lời giải:
a) Bình phương của mọi số thực đều dương.
– Mệnh đề này sai vì nếu x = 0 thì x2 = 0.
Sửa cho đúng: ∀ x ∈ R : x2 ≥ 0.
b) Tồn tại số tự nhiên mà bình phương của nó bằng chính nó.
– Mệnh đề này đúng. Ví dụ: n = 0; n = 1.
c) Mọi số tự nhiên đều nhỏ hơn hoặc bằng hai lần của nó.
– Mệnh đề này đúng.
d) Tồn tại số thực nhỏ hơn nghịch đảo của chính nó.
– Mệnh đề này đúng. Ví dụ 0,5 < 1/ 0,5.
Kiến thức áp dụng
+ ∀ : đọc là với mọi.
+ ∃ : đọc là tồn tại.
Bài 7 (trang 10 SGK Đại số 10): Lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng, sai của nó:
a) ∀ n ∈ N: n chia hết cho n ; b) ∃ x ∈ Q : x2 = 2
c) ∀ x ∈ R : x < x + 1 ; d) ∃ x ∈ R: 3x = x2 + 1
Lời giải:
a) A: “∀ n ∈ N: n chia hết cho n”
A− : “∃ n ∈ N: n không chia hết cho n”.
A− đúng vì với n = 0 thì n không chia hết cho n.
b) B: “∃ x ∈ Q : x2 = 2”.
B− : “∀ x ∈ Q : x2 ≠ 2”
B− đúng.
Lưu ý: √2 là số vô tỷ.
c) C: “∀ x ∈ R : x < x + 1”.
C− : “∃ x ∈ R: x ≥ x + 1”.
C− sai vì x + 1 luôn lớn hơn x.
d) D: “∃ x ∈ R: 3x = x2 + 1”
D− : “∀ x ∈ R ; 3x ≠ x2 + 1”
D− sai vì với
D− thỏa mãn:
Kiến thức áp dụng
+ Kí hiệu P− là mệnh đề phủ định của mệnh đề P.
+ Nếu A: “∀ x ∈ X, P(x)” thì A−: “∃ x ∈ X, ”
+ Nếu A: “∃ x ∈ X, Q(x)” thì A−: “∀ x ∈ X, ”.