Bài 1 (trang 63 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Mọi hình hộp có mặt cầu ngoại tiếp.
B. Mọi hình hộp đứng có mặt cầu ngoại tiếp
C. Mọi hình hộp có một mặt bên vuông góc với đáy đều có mặt cầu ngoại tiếp.
D. Mọi hình hộp chữ nhật có mặt cầu ngoại tiếp.
Lời giải:
Vì hình hộp chữ nhật có hai đáy nội tiếp đường tròn nên có mặt cầu ngoại tiếp. Chọn D
Bài 2 (trang 64 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Trong số các hình hộp nội tiếp một mặt cầu bán kính R thì:
A. Hình hộp có đáy là hình vuông có thể tích lớn nhất.
B. Hình lập Phương có thể tích lớn nhất.
C. Hình hộp có các kích thước tạo thành cấp số cộng sai khác 0 có thể tích lớn nhất.
D. Hình hộp có kích thước tạo thành cấp số nhân cộng bội khác 1 có thể tích lớn nhất.
Lời giải:
Gọi các cạnh của hình hộp chữ nhật là a, b, c
Khi đó V = abc lớn nhát khi và chỉ khí a = b = c.
Vậy hình đó là hình lập phương. Chọn B
Bài 3 (trang 64 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Một hình cầu có thể tích 4π/3 ngoại tiếp một hình lập phương. Trong các số sau đây, số nào là thể tích khối lập Phương?
Lời giải:
Suy ra thể tích lập phương là:
Chọn A
Bài 4 (trang 64 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hình chóp có đáy là tứ giác bất kì có mặt cầu ngoại tiếp.
B. Hình chóp có đáy là hình thang vuông có mặt cầu ngoại tiếp.
C. Hình chóp có đáy là hình bình hành có mặt cầu ngoại cầu.
D. Hình chóp có đáy là hình thang có mặt cầu ngoại tiếp.
Lời giải:
Hình chóp đáy là hình thang cân có mặt cầu ngoại tiếp. vì đáy có đường tròn ngoại tiếp nên các điểm nằm trên trục đường tròn đều cách các đỉnh ở đáy. Mặt phẳng trung trực của một cạnh bên cắt trục đường tròn tại O thì O là tâm mặt cầu. Chọn D
Bài 5 (trang 64 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho tứ diện đều ABCD có dạng bằng a. tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA2+MB2+MC2+MD2=2a2là
a) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng a√2/2;
b) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng a√2/4
c) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng a√2/2
d) Đường tròn với tâm là trọng tâm tam giác ABC và bán kính bằng a√2/4
Lời giải:
Gọi G là trọng tâm của khối tứ diện ABCD
tương tự MB2,MC2,MD2
=> MA2+MB2+MC2+MD2=4MG2+GA2+GB2+GC2+MD2=4MG2+3a2/2 =2a2
=> MG2=a2/8 => M thuộc mặt cầu tâm G, bán kính R = MG = a√2/4. Chọn B
Bài 6 (trang 65 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Bán kính mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều ABCD cạnh bằng a là:
Lời giải:
Do tứ diện ABCD là tứ diện đều nên tâm mặt cầu tiếp xúc các cạnh trùng với tâm mặt cầu ngoại tiếp nên R=a√2/2. Chọn A
Bài 7 (trang 65 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng cắt nhau.
B. Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng song song.
C. Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng phân biệt.
Lời giải:
Xem bài 3a. phần bài tập ôn tập chương II. Chọn D
Bài 8 (trang 65 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian sao cho diện tích tam giác MAB không đổi là:
A. Hai đường thẳng song song
B. mặt cầu
C. Mặt trụ tròn xoay
D. mặt nón xoay.
Lời giải:
Gọi khoảng cách từ M đến AB là d(M, AB)
Ta có diện tích tam giác MAB là
Suy ra M thuộc mặt trụ T trục AB bán kính R = 2S/AB. Chọn C
Bài 9 (trang 65 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho hai điểm phân biệt A, B cố định. Một đường thẳng l thay đổi luôn đi qua A và cách B một khoảng AB/2. Gọi H là hình chiếu của B trên l. Tập hợp điểm H trong không gian là:
A. mặt phẳng B. mặt trụ xoay
C. mặt nón D. đường tròn.
Lời giải:
Đặt góc BAH=α
Ta có BH = d
Vậy tập hợp H thuộc l là mặt nón H trục AB, đỉnh A, góc ở đỉnh 60o. Chọn C
Bài 10 (trang 65 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Với điểm O cố định thuộc mặt phẳng (P) cho trước, xét đường thẳng l thay đổi đi qua O và tạo với (P) góc 30o. Tập hợp các đường thẳng l trong không gian là:
A. mặt phẳng B. hai đường thẳng
C. mặt trụ D. mặt nón
Lời giải:
Mặt nón
Qua O kẻ đường thẳng Δ ⊥ mặt phẳng (P) thì góc giữa Δ và l β=90o-30o=〖60o
Vậy đường thẳng l luôn tạo với Δ một góc không đổi và đi qua điểm O cố định trên tg nên l thuộc mặt nón H trục Δ đỉnh O và góc ở đỉnh bằng = 120o. Chọn D
Bài 11 (trang 66 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Một hình trụ có bán kính đáy bằng a, đường cao OO’ = a √3. Một đoạn thẳng AB thay đổi sao cho góc giữa AB và trục hình trụ bằng . Một đoạn thẳng AB thay đổi sao cho góc giữa AB và trục hình trụ bằng 30o, A, B thuộc hai đường tròn đáy của hình trụ, tập hợp trung điểm I của AB là:
A. mặt trụ
B. mặt cầu
C. đường tròn có tâm là trung điểm của đường cao hình trụ bán kính a√3/2 trong mặt phẳng trung trực của OO’.
D. mặt phẳng
Lời giải:
Gọi giao điểm của AB với OO’ là H. Do góc giữa AB và OO’ bằng 〖30〗^0. Nên AB thay đổi thì I chạy trên đường tròn tâm K là trung điểm OO’ bán kính R=a√3/2 trong mặt phẳng trung trực OO’. Chọn C
Bài 12 (trang 66 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Trong mặt phẳng (P) cho góc xOy. Một mặt phẳng (Q) thay đổi và vuông góc với đường phân giác trong của xOy, cắt Ox, Oy tại A, B. Trong (Q) lấy điểm M sao cho góc AMB=90o. Khi ấy, điểm M luôn thuộc:
A. đường tròn B. mặt trụ
C. mặt nón D. mặt cầu
Lời giải:
Gọi Oz là tia phân giác của góc xOy, I là trung điểm AB và
Suy ra ΔMOI=ΔBOI.
Vậy M thuộc mặt nón H trục H trục Oz, đỉnh O góc đỉnh α. Chọn C
Bài 13 (trang 66 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay sinh bởi đường chéo AC’ khi quay quanh trục AA’ bằng.
A. πa2√6 B. πa2√3 C. πa2√2 D. πa2√5
Lời giải:
AC’ là đường sinh và AC’ = a√3, bán kính đáy A’C’ =a√2
Diện tích xung quanh Szq=πRl=πa√2.a√3=πa2√6. chọn A
Bài 14 (trang 66 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho hình nón bán kính đáy bằng a, một dây cung thay đổi của đường tròn đáy có độ dài không đổi bằng a. Tập hơp trung điểm I của dây cung là:
A. Mặt nón cố định B. Mặt phẳng cố định
C. Mặt trụ cố định D. Đường tròn cố định.
Lời giải:
Gọi dây cung AB = a, I là trung điểm của AB. Do dây cung có độ dài bằng a. Không đổi nên nó chuyển động trên đường tròn đáy thì trung điểm I cũng chạy trên đường tròn có bán kính a√3/2. Chọn D
Bài 15 (trang 66 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho hình trụ có bán kính đáy R, đường cao OO’. Cắt hình trụ đó bằng mặt phẳng (α) vuông góc với đáy và cách điểm O một khoảng cách h cho trước (h < R). Khi ấy, mp (α) có tính chất:
A. Luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định.
B. Luôn cách mặt phẳng cho trước qua trục hình trụ một khoảng h,
C. Cắt hình trụ theo thiết diện hình vuông.
D. Cả ba tính chất trên đều sai.
Lời giải:
Vì khoảng cách từ O đến (α) bằng h cố định và α ⊥ đáy nên (α) tiếp xúc với trụ trục OO’ bán kính h. chọn A
Bài 16 (trang 67 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Một khối trụ bán kính đáy a√3, chiều cao 2a√3. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối trụ là:
Lời giải:
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp
Chọn A
Bài 17 (trang 67 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy bằng 2. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó là:
Lời giải:
Do đường sinh bằng đường kính đáy nên bán kính mặt cầu: R=2h/3 , với h là đường cao tam giác đều có cạnh bằng 2.
Bài 18 (trang 67 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón có bán kính là:
Lời giải:
Diện tích hình cầu
Chọn A
Bài 19 (trang 67 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho một hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Một khối cầu có thể tích của khối nón thì có bán kính bằng
Lời giải:
Chọn A
Bài 20 (trang 67 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a và góc ở đỉnh bằng 90o. Cắt hình nón bằng mặt phẳng (α) đi qua đỉnh sao cho góc giữa (α) và mặt đáy hình nón bằng 60o. Khi đó diện tích thiết diện là:
Lời giải:
Chọn A
Bài 21 (trang 67 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với mặt đáy góc 60o. Diện tích toàn phần của hình nón ngoại tiếp hình chóp là:
Lời giải:
Chọn A
Bài 22 (trang 68 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho mặt cầu bán kính R và một hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao 2R. Tỉ số thể tích khối cầu và khối trụ là:
Lời giải:
Bài 23 (trang 68 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao cũng bằng R. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, mp (ABCD) không vuông góc với mặt phẳng đáy hình trụ. Diện tích hình vuông đó là:
Lời giải:
Chọn A
Bài 24 (trang 68 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Một khối hộp chữ nhật nội tiếp trong một khối trụ, ba kích thước của hình hộp chữ nhật a, b, c. thể tích của khối trụ là:
Lời giải:
Nếu đường cao là c thì thể tích
Nếu đường cao là b thì
Nếu đường cao là a thì
Bài 25 (trang 68 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Một khối tứ diện đều có cạnh a nội tiếp khối nón. Thể tích khối nón là:
Lời giải:
Khối nón có đường cao h bằng đường cao của tứ diện hạ từ một đỉnh đến một đối diện h = a √6/3
Bán kính đáy bằng 2/3 đường cao tam giác đều,
Chọn B
Bài 26 (trang 68 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, góc ở đỉnh bằng 120o. Trên đường tròn đáy, lấy điểm A cố định và điểm M di động. Gọi a là diện tích của tam giác SAM. Có bao nhiêu vị trí của M để s đạt giá trị lớn nhất?
A. có 1 vị trí B. có 2 vị trí
C. có 3 vị trị D. có vô số vị trí
Lời giải:
Gọi A’ đối xứng với A qua tâm O của đường tròn đáy
Vậy diện tích nhỏ nhất khi SA ⊥SM => M nằm trên 2 nửa đường tròn (O) sao cho SA ⊥SM. Và có 2 điểm M như vậy. Chọn B
Chọn D
