Bài 1 (trang 104 SGK Hình học 11): Cho mặt phẳng (α) và hai đường thẳng a, b. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) Nếu a // (α), b ⊥(α) thì a ⊥b.
b) Nếu a // (α), b ⊥a thì b ⊥(α).
c) Nếu a // (α), b // (α) thì b // a.
d) Nếu a ⊥(α), b ⊥a thì b ⊥(α).
Lời giải:
a) Đúng
b) Sai
c) Sai
d) Sai
Giải thích:
a) a // (α) a // a‘ (α) (1)
b ⊥(α) b ⊥a‘ (2)
(1) và (2) a ⊥b
b) Điều này chưa đủ để b ⊥(α)
c) ● a // (α) a // a‘ (α)
● b // (α) b // b‘ (α)
a‘ và b‘ có thể cắt nhau nên a và b có thể chéo nhau
d) a ⊥(α) và b ⊥a thì b có thể nằm trong mp(α)
Bài 2 (trang 104 SGK Hình học 11): Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung đáy BC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (ADI)
b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI, chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (BCD).
Lời giải:
Bài 3 (trang 104 SGK Hình học 11): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có SA = SB = SC = SD. Chứng minh rằng:
a) Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
b) Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (SBD) và đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC).
Lời giải:
Bài 4 (trang 105 SGK Hình học 11): Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB và OC đôi một vuông góc. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng :
Lời giải
Bài 5 (trang 105 SGK Hình học 11): Trên mặt phẳng (α) cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (α) sao cho SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng:
a) SO ⊥(α)
b) Nếu trong mặt phẳng (SAB) kẻ SH vuông góc với AB tại H thì AB vuông góc với mặt phẳng (SOH).
Lời giải:
Bài 6 (trang 105 SGK Hình học 11): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I và K là hai điểm lần lượt lấy trên hai cạnh SB và SD sao cho SI/SB = SK/SD . Chứng minh:
a) BD ⊥ SC
b) IK ⊥mp(SAC)
Lời giải:
Bài 7 (trang 105 SGK Hình học 11): Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vu
Chứng minh rằng:
a) BC ⊥ (SAB), AM ⊥ (SBC)
b) SB ⊥ AN
Lời giải:
Bài 8 (trang 105 SGK Hình học 11): Cho điểm S không thuộc mặt phẳng (α) có hình chiếu trên (α) là điểm H. Với điểm M bất kì trên (α) và không trùng với H, ta gọi SM là đường xiên và đoạn HM là hình chiếu của đường xiên đó.
Chứng minh rằng:
a) Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau;
b) Với hai đường xiên cho trước, đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn và ngược lại, đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
Lời giải:
a) Giả sử ta có hai đường xiên SA, SB và các hình chiếu HA, HB của chúng trên mp(α)
Giả sử HA = HB
Vì SH ⊥ mp(α) nên SH ⊥ HA và SH ⊥ SB và các tam giác SHA, SHB là các tam giác vuông. Hai tam giác vuông SHA, SHB có canh SH chung và HA = HB nên :
ΔSHA = ΔSHB SA = SB
Ngược lại nếu SA = SB thì ΔSHA = ΔSHB ⇒ HA = HB
Kết quả, ta có HA = HB SA= SB (đpcm)
b) Giả sử có hai đường xiên SA, SC và các hình chiếu HA, HC của chúng trên mp(α) với giả thiết HC > HA.
Trên đoạn HC, lấy điểm B‘ sao cho HA‘ = HA ⇒ HC > HA‘. Như vậy, theo kết quả câu a) ta có SA‘ = SA. Ta có trong các tam giác vuông SHB‘, SHC thì :
SC2= SH2 + HC2
SA2 = SH2 + HA2
Vì HC > HA‘ nên SC2 > SA2 ⇒ SC > SA
Suy ra SC > SA
Như vậy HC > HA ⇒ SC > SA
Lí luận tương tự, ta có : SC > SA ⇒ HC > HA
Kết quả : HC > HA ⇔ SC > SA
