[Giải Toán 10] Chương 3: Phương trình. Hệ phương trình/ Bài 2: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 2 trang 58: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: m(x – 4) = 5x – 2.

Lời giải

m(x – 4) = 5x – 2 ⇔(m – 5)x = 4m – 2

Nếu m – 5 ≠ 0 ⇔ m ≠ 5 thì phương trình có nghiệm duy nhất

x = (4m – 2)/(m – 5)

Nếu m – 5 = 0 ⇔ m = 5, phương trình trở thành:

0.x = 18 ⇒ phương trình vô nghiệm

Vậy với m ≠ 5 phương trình có nghiệm duy nhất

x = (4m – 2)/(m – 5)

Với m = 5 phương trình vô nghiệm.

Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 2 trang 59: Lập bảng trên với biệt thức thu gọn Δ’.

Lời giải

Bài 1 (trang 62 SGK Đại số 10): Giải các phương trình:

Lời giải:

Bài 2 (trang 62 SGK Đại số 10): Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:

a) m(x – 2) = 3x + 1 ;

b) m²x + 6 = 4x + 3m ;

c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2.

Lời giải:

a) m(x – 2) = 3x + 1

⇔ mx – 2m = 3x + 1

⇔ mx – 3x = 1 + 2m

⇔ (m – 3).x = 1 + 2m (1)

     + Xét m – 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3, phương trình (1) có nghiệm duy nhất

     + Xét m – 3 = 0 ⇔ m = 3, pt (1) ⇔ 0x = 7. Phương trình vô nghiệm.

Kết luận:

+ với m = 3, phương trình vô nghiệm

+ với m ≠ 3, phương trình có nghiệm duy nhất

b) m²x + 6 = 4x + 3m

⇔ m².x – 4x = 3m – 6

⇔ (m² – 4).x = 3m – 6 (2)

+ Xét m² – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±2, phương trình (2) có nghiệm duy nhất:

+ Xét m² – 4 = 0 ⇔ m = ±2

     ● Với m = 2, pt (2) ⇔ 0x = 0 , phương trình có vô số nghiệm

     ● Với m = –2, pt (2) ⇔ 0x = –12, phương trình vô nghiệm.

Kết luận:

     + m = 2, phương trình có vô số nghiệm

     + m = –2, phương trình vô nghiệm

     + m ≠ ±2, phương trình có nghiệm duy nhất

c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2

⇔ (2m + 1)x – 3x = 2m – 2

⇔ (2m + 1 – 3).x = 2m – 2

⇔ (2m – 2).x = 2m – 2 (3)

     + Xét 2m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1, pt (3) có nghiệm duy nhất

     + Xét 2m – 2 = 0 ⇔ m = 1, pt (3) ⇔ 0.x = 0, phương trình có vô số nghiệm.

Kết luận :

+ Với m = 1, phương trình có vô số nghiệm

+ Với m ≠ 1, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

Kiến thức áp dụng

Để giải và biện luận phương trình quy được về phương trình bậc nhất, ta cần :

+ Đưa phương trình về dạng a.x = b bằng cách chuyển hết những số hạng chứa x về bên trái, chuyển hết những số hạng tự do về bên phải.

+ Xét a ≠ 0, phương trình có nghiệm duy nhất x = b/a

     Xét a = 0, nếu b = 0, pt có vô số nghiệm ; nếu b ≠ 0, pt vô nghiệm.

+ Kết luận.

Bài 3 (trang 62 SGK Đại số 10): Có hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau. Nếu lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số quả ở rổ thứ hai bằng 1/3 của bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất. Hỏi số quả quýt ở mỗi rổ lúc ban đầu là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi số quýt ban đầu ở mỗi rổ là x (quả)

Muốn lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số quả ở mỗi rổ lúc đầu phải nhiều hơn 30 quả hay x > 30.

Khi đó rổ thứ nhất còn x – 30 quả; rổ thứ hai có x + 30 quả.

Vì số quả ở rổ thứ hai bằng 1/3 bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất nên ta có phương trình:

Giải phương trình (1):

Vì x > 30 nên x = 45 thỏa mãn.

Vậy ban đầu mỗi rổ có 45 quả cam.

Kiến thức áp dụng

Đây là dạng bài giải bài toán bằng cách lập phương trình đã học ở lớp 8.

Bước 1: Lập phương trình:

+ Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

+ Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lương.

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận.

Bài 4 (trang 62 SGK Đại số 10): Giải các phương trình

a) 2x⁴ – 7x² + 5 = 0 ;         b) 3x⁴ + 2x² – 1 = 0

Lời giải:

a) 2x⁴ – 7x² + 5 = 0 (1)

Tập xác định: D = R.

Đặt t = x², điều kiện t ≥ 0.

Khi đó phương trình (1) trở thành:

2t² – 7t + 5 = 0

⇔ (2t – 5) (t – 1) = 0

b) 3x⁴ + 2x² – 1 = 0 (2)

Tập xác định : D = R.

Đặt t = x², điều kiện t ≥ 0

Khi đó phương trình (2) trở thành :

3t² + 2t – 1 = 0 ⇔ (3t – 1)(t + 1) = 0

Bài 5 (trang 62 SGK Đại số 10): Giải các phương trình sau bằng máy tính bỏ túi (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba)

a) 2x² – 5x – 4 = 0 ;         b) -3x² + 4x + 2 = 0

c) 3x² + 7x + 4 = 0 ;         d) 9x² – 6x – 4 = 0.

Hướng dẫn cách giải câu a): Nếu sử dụng máy tính CASIO fx-500 MS, ta ấn liên tiếp các phím

màn hình hiện ra x₁ = 3.137458609

Ấn tiếp màn hình hiện ra x₂ = –0.637458608

Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba ta được nghiệm gần đúng của phương trình là x₁ ≈ 3.137 và x₂ ≈ –0.637.

Lời giải: Sử dụng máy tính CASIO fx–500 MS

* Nếu sử dụng các loại máy tính CASIO fx – 570, để vào chương trình giải phương trình bậc 2 các bạn ấn như sau:

rồi sau đó nhập các hệ số và đưa ra kết quả như CASIO fx–500 MS trên.

* Nếu sử dụng các loại máy tính VINACAL, để vào chương trình giải phương trình bậc 2 các bạn ấn như sau:

rồi sau đó nhập các hệ số và đưa ra kết quả như trên.

* Các loại máy tính CASIO fx–570, VINACAL trên khi giải phương trình vô tỷ sẽ cho nghiệm chính xác dưới dạng căn thức, để nghiệm hiển thị dưới dạng số thập phân, các bạn ấn nút

Ví dụ để giải phương trình trên máy tính CASIO fx–570 VN, các bạn ấn như sau:

Bài 6 (trang 62-63 SGK Đại số 10): Giải các phương trình

a) |3x – 2| = 2x + 3 ;

b) |2x – 1| = |-5x – 2| ;

d) |2x + 5| = x² + 5x + 1.

Lời giải:

a) |3x – 2| = 2x + 3 (1)

Tập xác định: D = R.

+ Nếu thì phương trình (1) trở thành 3x – 2 = 2x + 3. Từ đó x = 5.

Giá trị x = 5 thỏa mãn điều kiện nên x = 5 là một nghiệm của phương trình (3).

+ Nếu thì phương trình (1) trở thành 2 – 3x = 2x + 3. Từ đó

Giá trị là một nghiệm của phương trình (3).

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 5 và

b) |2x – 1| = |-5x – 2| (2)

Tập xác định D = R.

Ta có:

Vậy phương trình có hai nghiệm và x = –1.

+ Xét x > –1, khi đó x + 1 > 0 nên |x + 1| = x + 1.

Khi đó pt (3)

+ Xét x < –1, khi đó x + 1 < 0 nên |x + 1| = –x – 1.

Khi đó pt (3)

(không thỏa mãn điều kiện x < –1).

Vậy phương trình có hai nghiệm là

d) |2x + 5| = x² + 5x + 1 (4)

Tập xác định: D = R.

+ Xét 2x + 5 ≥ 0 ⇔ , khi đó |2x + 5| = 2x + 5

Khi đó pt (4) ⇔ 2x + 5 = x² + 5x + 1

⇔ x² + 3x – 4 = 0

⇔ (x + 4)(x – 1) = 0

⇔ x = –4 (không thỏa mãn) hoặc x = 1 (thỏa mãn)

+ Xét 2x + 5 < 0 ⇔ , khi đó |2x + 5| = –2x – 5.

Khi đó pt (4) ⇔ –2x – 5 = x² + 5x + 1

⇔ x² + 7x + 6 = 0

⇔ (x + 1)(x + 6) = 0

⇔ x = –1 (không thỏa mãn) hoặc x = –6 (thỏa mãn).

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 hoặc x = –6.

Kiến thức áp dụng

+ Để giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối chúng ta cần làm mất dấu giá trị tuyệt đối bằng cách chia trường hợp (trường hợp A(x) âm thì |A(x)| = –A(x), trường hợp A(x) dương thì |A(x)| = A(x)) hoặc bình phương cả hai vế.

+ Ở bước bình phương cả hai vế, ta dùng dấu tương đương khi biết rõ biểu thức ở cả hai vế cùng âm hoặc cùng dương.

Trong trường hợp chưa biết dấu của một trong hai vế hoặc cả hai vế, ta phải dùng dấu suy ra và thử lại nghiệm.

+ Phương trình dạng |f(x)| = |g(x)| khi giải bằng phương pháp phá dấu giá trị tuyệt đối ta sẽ có 4 trường hợp:

     ● |f(x)| = g(x) ⇔ f(x) = g(x) hoặc –f(x) = g(x)

     ● |f(x)| = – g(x) ⇔ f(x) = –g(x) hoặc –f(x) = –g(x)

4 trường hợp trên ta có thể viết gọn thành hai trường hợp f(x) = g(x) hoặc f(x) = – g(x).

Vậy ta có |f(x)| = |g(x)| ⇔ f(x) = g(x) hoặc f(x) = – g(x).

Bài 7 (trang 63 SGK Đại số 10): Giải các phương trình

Lời giải:

a) (1)

Điều kiện xác định: 5x + 6 ≥ 0 ⇔

Từ (1) ⇒ 5x + 6 = (x – 6)²

⇔ 5x + 6 = x² – 12x + 36

⇔ x² – 17x + 30 = 0

⇔ (x – 15)(x – 2) = 0

⇔ x = 15 (thỏa mãn ĐKXĐ) hoặc x = 2 (thỏa mãn đkxđ).

Thử lại x = 15 là nghiệm của (1), x = 2 không phải nghiệm của (1)

Vậy phương trình có nghiệm x = 15.

b) (2)

Điều kiện xác định: -2 ≤ x ≤ 3

Ta có (2)

Thử lại thấy x = 2 không phải nghiệm của (2)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = –1

c) (3)

Tập xác định: D = R.

Từ pt (3) ⇒ 2x² + 5 = (x + 2)²

⇔ 2x² + 5 = x² + 4x + 4

⇔ x² – 4x + 1 = 0

Thử lại thấy chỉ có x = 2 + √3 là nghiệm của (3)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 + √3.

d) (4)

Ta có với mọi x.

Do đó phương trình có tập xác định D = R.

Từ (4) ⇒ 4x² + 2x + 10 = (3x + 1)²

⇔ 4x² + 2x + 10 = 9x² + 6x + 1

⇔ 5x² + 4x – 9 = 0

⇔ x = 1 hoặc x = –9/5

Thử lại thấy chỉ có x = 1 là nghiệm của (4)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

Kiến thức áp dụng

+ Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương cả hai vế để đưa về một phương trình không chứa ẩn dưới dấu căn.

+ Khi bình phương cả hai vế của một phương trình, ta dùng dấu tương đương khi biết rõ biểu thức ở cả hai vế cùng âm hoặc cùng dương.

Trong trường hợp chưa biết dấu của một trong hai vế hoặc cả hai vế, ta phải dùng dấu suy ra và thử lại nghiệm.

Bài 8 (trang 63 SGK Đại số 10): Cho phương trình 3x² – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0

Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

Lời giải:

Ta có : 3x² – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 (1)

(1) có hai nghiệm phân biệt khi Δ’ > 0

⇔ (m + 1)² – 3.(3m – 5) > 0

⇔ m² + 2m + 1 – 9m + 15 > 0

⇔ m² – 7m + 16 > 0

⇔ (m – 7/2)² + 15/4 > 0

Điều này luôn đúng với mọi m ∈ R hay phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt., gọi hai nghiệm đó là x₁; x₂

Khi đó theo định lý Vi–et ta có (I)

Phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia, giả sử x₂ = 3.x₁, khi thay vào (I) suy ra :

* TH1 : m = 3, pt (1) trở thành 3x² – 8m + 4 = 0 có hai nghiệm x₁ = 2/3 và x₂ = 2 thỏa mãn điều kiện.

* TH2 : m = 7, pt (1) trở thành 3x² – 16m + 16 = 0 có hai nghiệm x₁ = 4/3 và x₂ = 4 thỏa mãn điều kiện.

Kết luận : m = 3 thì pt có hai nghiệm là 2/3 và 2.

m = 7 thì pt có hai nghiệm 4/3 và 4.

Kiến thức áp dụng

Để giải các bài toán tìm tham số để nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện nào đó cần :

+ Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm hoặc có hai nghiệm phân biệt.

+ Áp dụng định lý Vi–et để biểu diễn nghiệm theo tham số

+ Biến đổi các điều kiện về nghiệm theo đề bài để tìm ra tham số.

+ Thử lại và kết luận. 

Comments

comments