fbpx
Wednesday, February 21, 2024
HomeGiải bài tập lớp 12Giải Toán 12 nâng caoĐại số - Chương 4 - Luyện tập (trang 199)

Đại số – Chương 4 – Luyện tập (trang 199)

Bài 23 (trang 199 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Giải Phương trình z=(1/z)+k trong các trường hợp sau:

a) k =1    b) k=√2    c) k = 2i

Lời giải:

a) Khi k = 1 ta có Phương trình: z+(1/z)=1, điều kiện z ≠ 0 phương trình:

<=> z2-z+1=0,có Δ=1-4=-3=(√3 i)2

b) Khi k = √2 ta có Phương trình: z2-√2 z+1=0

có Δ=2-4=-2=(√2 i)2

c) Khi k = 2i ta có Phương trình: z2-2iz+1=0

Có Δ=(2i)2-4=-8=(2 √2i)2

Nên suy ra z1=(2i-2 √2 i)/2=(1-√2)i;z2=(1+√2)i

Vậy Phương trình có hai nghiệm là: (1-√2 i) và (1+√2i)

Bài 24 (trang 199 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Giải các phương trình sau và biểu diễn hình học tập hợp các nghiệm của mỗi Phuong trình trong mặt phẳng số phức.

a) z3+1=0

b) z4-1=0

c) z4+4=0

d) 8z4+8z3=z+1

Lời giải:

a) <=> (z+1)(z2-z+1)=0

Giải Toán 12 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 12 nâng cao

b) <=> (z-1)(z+1)(z2+1)=0 <=> z=±1 và z=±i

c) <=> ((z2 )2-(2i)2 )2=0 <=> (z2-2i)(z2+2i)=0

d) <=> 8z3 (z+1)=z+1 <=> (z+1)(8z4-1)=0

<=> (z+1)(2z-1)(4z2+2z+1)=0

Vậy Phương trình có 4 nghiệm là:

Vậy Phương trình có 4 nghiệm là:

Bài 25 (trang 199 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a) Tìm các số thực a, b để Phương trình (với ẩn z).

z2+bz+c=0 nhận z=1+i làm một nghiệm.

b) Tìm các số thực a, b, c để Phương trình (với ẩn z): z3+az2+bz+c=0 nhận z = 1 +I làm nghiệm và cũng nhận z = 2 làm nghiệm.

Lời giải:

a) Vì z=1+i làm nghiệm đúng của: z2+bz+c=0 nên: (1+i)2+b(1+i)+c=0

<=> 1+2i-1+b+bi+c=0 <=> (b+c)+(2+b)i=0

Vậy b = -2 và c = 2 là giá trị cần tìm.

b) Vì z=1+i và z=2 là nghiệm của Phương trình: z3+az2+bz+c=0 nên ta có:

Vậy a = -4 và b = 6 và c = -4 là giá trị cần tìm.

Bài 26 (trang 199 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a) Dùng công thức lượng giác để chứng minh rằng với mọi số thức φ, ta có:

(cos⁡φ+i sin⁡φ )2=cos⁡2φ+isin 2φ

Từ đó hãy tìm mọi căn bậc hai của số thức: cos⁡2φ+isin 2φ. Hãy so sánh cách giải thích này với cách giải thích học ở bài §2.

Lời giải:

a) Ta có: (cos⁡φ+i sin⁡φ )2=(cos2⁡φ-sin2⁡φ )+2sinφcosφi=cos⁡2φ+isin 2φ

Suy ra cos⁡2φ+isin 2φ có căn bậc hai là:

cos⁡φ+i sin⁡φ và -cos⁡φ-i sin⁡φ

nhận xét: các giải thích này rất thuận lợi cho việc tìm căn bậc hai của số phức: z=a+bi với a2+b2=1

Ta có:

Theo câu a) thì số cos⁡(π/4)-i sin⁡(π/4) có căn bậc hai là:

Comments

comments

RELATED ARTICLES

Most Popular