Đại số – Chương 1 – Luyện tập (trang 23-24)

30

Bài 21 (trang 23 sgk Giải Tích 12 nâng cao): 

Tìm cực trị của các hàm số sau:

Lời giải:

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1; fCT=f(-1)=-1/2

Hàm số đạt cực đại tại x = 1; f=f(1)=1/2

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực trị tại điểm x=-3/2;f(-3/2)=27/4

Hàm số không có cực đại

Tập xác định: [-5; 5]

Vậy hàm số đạt cực trị tại điểm x=-3/2;f(-3/2)=27/4

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực trị tại điểm x = 0; f=f(0)=√5

Hàm số không có đạt giá trị cực tiểu.

f(x) xác định trên D = (-∞; -1] ∪[1; +∞)

Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên (- ∞; -1] và đồng biến trên [1; +∞)

Hàm số không có cực trị.

Bài 22 (trang 23 sgk Giải Tích 12 nâng cao): 

Tìm các giá trị để :

đạt giá trị cực đại và cực tiểu.

Lời giải:

Tập xác định: D = R \ {1}

Phương trình (*) có nghiệm x ≠ 1 khi và chỉ khi m ≠ 1

Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1, nghĩa là:

Vậy f(x) đạt cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi m >0

Bài 23 (trang 23 sgk Giải Tích 12 nâng cao): 

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức G(x) = 0,025x2 (30-x). Trong đó x là liếu lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhận (x lấy đơn vị là miligam). Tính liều lượng thuộc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất và tính độ giảm đó.

Lời giải:

Ta có G(x) = 0,75x2-0,025x2;G’ (x)=1,5x-0,075x2;G(x)’=0 <=> x = 0; x = 20

Vậy liều lượng cần tiêm cho bệnh nhân huyết áp giảm nhiều nhất là 20mg. khi đó, độ giảm huyết áp là 100.

Bài 24 (trang 23 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Cho parabol (P) y = x2 và điểm A(-3; 0). Xác định điểm M thuộc Parabol (P) sao cho khoảng cách AM ngắn nhất và tìm khoảng cách ngắn nhất đó.

Lời giải:

Gọi M(x; x2) là một điểm bất kì trên (P).

Ta có: AM2=(x-3)2+(x2 )2=x4+6x+9

AM nhỏ nhất <=> f(x) = x4+x2+6x+9 đạt giá trị nhỏ nhất.

f’ (x)=4x2+2x+6=(x+1)(4x2-4x+6)

f’ (x)=0 <=> x = -1

Bảng biến thiên

f đạt nhỏ nhất tại điểm x = -1; f(-1) = 5. Suy ra, khoảng cách AM đạt giá trị nhỏ nhất khi M ở vị trí điểm Mo (-1;1). Lúc đó AMo=√5

Bài 25 (trang 23 sgk Giải Tích 12 nâng cao): 

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt qua một khoảng cách là 300 km. vận tốc dòng nước là 6 km/h. nếu vận tốc bởi của các khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức E(v) = cv3t. Trong đó c là một hằng số, E được tính bằng Jun, tìm vận tóc của cá khi dòng nước đứng yên để tiêu hao năng lượng là ít nhất.

Lời giải:

Vận tốc của các khi bởi ngược dòng nước là v – 6 (km/h). thời gian cá bơi để vượt qua một khoảng cách 300 km là:

Năng lượng tiêu hao của cá để vượt khoảng cách đó là:

Bài toán trở thành tìm v > 6 để E(v) nhỏ nhất?

Bảng biến thiên

Vậy tiêu hao ít năng lượng nhất, cá phải bởi với vận tốc 9 km/h (khi nước đứng yên).

Bài 26 (trang 23 sgk Giải Tích 12 nâng cao): 

Sau khi phát hiện một bệnh dịch các chuyên gia ý tê ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là:

f(t)=45t2-t3;t=0;1;2;3…;25.

Nếu coi f là hàm số xác định trên đoạn [0; 25] thì f’(t) được xem là tốc đọ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t.

Tính tốc đọ truyền bệnh vào ngày thứ 5.

Xác định các ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc độ đó.

Xác định các ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hớn 600.

Xét chiều biến thiên của hàm số f trên đoạn [0; 25]

Lời giải:

Số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f(t) = 45t2-t3, t nguyên thuộc đoạn [0; 25]

Để xét tốc độ truyền bệnh, xem f(t) là hàm số xác định trên đoạn [0; 25]

f’ (t)=90t-3t2=3t(30-t)

Tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ 5 là: f’(t) = 375 người/ngày

Bài toán trờ thành: tìm t ∈[0;25] để f’(t) là lớn nhất.

Ta có: f’’(t) = 90 – 6t; f’’(t) = 0 <=> t = 15

Bảng biến thiên:

Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất là vào ngày thứ 15.

Tốc độ đó là f’(15) = 675 người/ngày

f’(t) > 600 <=> 90t-3t2>600 <=>10<t<20

từ ngày thứ 11 đến ngày thứ 19, tốc độ truyền bệnh là lớn hơn 600 người mỗi ngày.

f’(t) = 3t(30 – t) ∀t ∈(0;25); f(t) liên tục trên [0; 25]

=>f(t) đồng biến trên [0; 25]

Bài 27 (trang 24 sgk Giải Tích 12 nâng cao): 

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:

Lời giải:

∀x ∈(-3;1) mà f(x) liên tục trên [-3; 1] nên hàm số nghịch biến trên [-3; 1]

f’(x) = 0 vô nghiệm (trên [-3; 1])

ta có: f(1) = 1; f(-3) = 3 nên:

b) Tập xác định: D = [-2; 2]

Cách 1. Bảng biến thiên

Cách 2. Ta có: f(-2) = -2; f(√2)=2√2;f(2)=2

So sánh các giá trị trên ta được:

f(x)=sin4x+1-sin2⁡x+2=sin4x-sin2⁡x+3

Đặt t = sin3⁡x;t ∈[0;1]. Khi đó ta có h(t) = t2-t+3,t ∈[0;1]

f’ (t)=2t-1;h’ (t)=0 <=> t=1/2∈[0;1]

h(0)=3;h(1/2)=11/4;h(1)=3

đạt được giới hạn tại x = 0.

đạt được giới hạn tại x = ?/4

f(x)=x-sin⁡2x trên [-π/2;π]

Ta có: f’(x) = 1- 2cos2x; f’(x) = 0

So sánh giá trị trên ta được:

Bài 28 (trang 24 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40 cm, hãy xác định các hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Lời giải:

Cách 1. Vì chu vi của hình chữ nhật là 40 cm nên kích thước là x, 20 -x (cm) (0 < x <20)

Diện tích hình chữ nhậ trên là:

S(x) = x(20 – x) = 20x – x2 x ∈(0;20)

S’ (x)=20-x;S’ (x)=0 <=> x = 10

Bảng biến thiên:

Vậy trong tất cả các hình chữ nhật có chu vi 40 cm, hình vuông có cạnh là 10 cm có diện tích lớn nhất.

Cách 2. Hướng dẫn: sử dụng bất đẳng thức cô – si.

Hai số dương a, b có tổng không đổi thì tích của chúng là lớn nhất khi và chỉ khi a = b

Giải

Gọi a, b là hai cạnh của hình chữ nhật, ta có a + b = 20 (a, b >0)

Vậy hình vuông có cạnh 10 cm là diện tích lớn nhất (trong tất cả các hình chữ nhật có chu vi 40 cm)

Comments

comments