Giải tích – Chương 1 – Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

19

Bài 1 (trang 43 SGK Giải tích 12): Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

a) y = 2 + 3x – x3 ;     b) y = x3 + 4x2 + 4x

c) y = x3 + x2 + 9x ;     d) y = -2x3 + 5

Lời giải:

a)

– Tập xác định: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = 3 – 3x2

y’ = 0 => x = ±1

+ Giới hạn:

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 1 ).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).

+ Cực trị:

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là: ( 1; 0).

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (1; 4).

– Đồ thị:

Ta có x3 + 4x2 + 4x = 0 ⇒ x(x2 + 4x + 4) = 0

⇒ x(x + 2)2 = 0 => x = 0; x = -2

+ Giao với Ox: (0; 0) và (-2; 0)

+ Giao với Oy: (0; 0) (vì y(0) = 0)

(Đồ thị hàm số nhận điểm (0; 2) làm tâm đối xứng.)

b)

– Tập xác định: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = 3x2 + 8x + 4

y’ = 0 => x = -2 hoặc x = -2/3

+ Giới hạn:

Bảng biến thiên

– Đồ thị:

Ta có 2 + 3x – x3 = 0 ⇒ x = -1 ; x = 2

+ Giao với Ox: (-1; 0) và (2; 0)

+ Giao với Oy: (0; 2) (vì y(0) = 2)

c)

– Tập xác định: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = 3x2 + 2x + 9 > 0 ∀ x ∈ R

=> Hàm số luôn đồng biến trên R và không có điểm cực trị.

+ Giới hạn:

Bảng biến thiên

– Đồ thị:

x 0 1 -1
y 0 11 -9

 

d)

– Tập xác định: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = -6x2 ≤ 0 ∀ x ∈ R

=> Hàm số luôn nghịch biến trên R và không có điểm cực trị.

+ Giới hạn:

Bảng biến thiên

– Đồ thị:

x 0 1 -1
y 5 3 7

 

Bài 2 (trang 43 SGK Giải tích 12): Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:

a) y = -x4 + 8x2 – 1 ;     b) y = x4 – 2x2 + 2

Lời giải:

a)

– Tập xác định: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = -4x3 + 16x = -4x(x2 – 4)

y’ = 0 ⇔ -4x(x2 – 4) = 0 => x = 0 ; x = ±2

+ Giới hạn:

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -2) và (0; 2).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-2; 0) và (2; +∞).

+ Cực trị:

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là: (0; -1).

Đồ thị hàm số có hai điểm cực đại là: (-2; 15) và (2; 15).

– Đồ thị:

Hàm số đã cho là hàm số chẵn, vì:

y(-x) = -(-x)4 + 8(-x)2 – 1 = -x4 + 8x2 – 1 = y(x)

Do đó đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta có: -x4 + 8x2 – 1 = 0 => x = ±√(4 + √15) ; x = ±√(4 – √15)

+ Giao với Ox: tại 4 điểm

+ Giao với Oy: (0; -1) (vì y(0) = -1)

b)

– Tập xác định: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1)

y’ = 0 ⇔ 4x(x2 – 1) = 0 => x = 0 ; x = ±1

+ Giới hạn:

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0) và (1; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1).

+ Cực trị:

Đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu là: (-1; 1) và (1; 1).

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 2).

– Đồ thị:

Xác định tương tự như a) ta có đồ thị:

c)

– Tập xác định: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = 2x3 + 2x = 2x(x2 + 1)

y’ = 0 ⇔ 2x(x2 + 1) = 0 => x = 0

+ Giới hạn:

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0).

+ Cực trị:

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; -3/2).

– Đồ thị:

Xác định tương tự như a) ta có đồ thị:

d)

– Tập xác định: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = -4x – 4x3 = -4x(1 + x2)

y’ = 0 ⇔ -4x(1 + x2) = 0 => x = 0

+ Giới hạn:

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; +∞).

+ Cực trị:

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 3).

– Đồ thị:

Xác định tương tự như a) ta có đồ thị:

Bài 3 (trang 43 SGK Giải tích 12): Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số phân thức:

Lời giải

a)

– Tập xác định: D = R \ {1}

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

=> Hàm số nghịch biến trên (-∞; 1) và (1; +∞).

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

Vậy x = 1 là tiệm cận đứng.

Vậy y = 1 là tiệm cận ngang.

+ Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; -3)

+ Giao với Ox: (-3; 0)

b)

– Tập xác định: D = R \ {2}

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

=> Hàm số đồng biến trên (-∞; 2) và (2; +∞).

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

Vậy x = 2 là tiệm cạn đứng.

Vậy y = -1 là tiệm cận ngang.

+ Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; -1/4)

+ Giao với Ox: (1/2; 0)

Xác định một số điểm khác:

c)

– Tập xác định: D = R \ {-1/2}

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

=> Hàm số nghịch biến trên (-∞; -1/2) và (-1/2; +∞).

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

Vậy x = -1/2 là tiệm cận đứng.

Vậy y = -1/2 là tiệm cận ngang.

+ Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; 2)

+ Giao với Ox: (2; 0)

Bài 4 (trang 44 SGK Giải tích 12): Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:

a) x3 – 3x2 + 5 = 0 ;

b) -2x3 + 3x2 – 2 = 0 ;

c) 2x2 – x4 = -1

Lời giải:

a) x3 – 3x2 + 5 = 0     (1)

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 5 và trục hoành (y = 0).

Xét hàm số y = x3 – 3x2 + 5 ta có:

– TXĐ: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = 3x2 – 6x = 3x(x – 2)

y’ = 0 => x = 0 ; x = 2

+ Giới hạn:

    + Bảng biến thiên:

+ Đồ thị

Đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 5 chỉ cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất. Từ đó suy ra phương trình x3 – 3x2 + 5 = 0 chỉ có 1 nghiệm.

b) -2x3 + 3x2 – 2 = 0

⇔ 2x3 – 3x2 = -2     (2)

Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x3 – 3x2 và đường thẳng y = -2.

Xét hàm số y = 2x3 – 3x2

– TXĐ: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = 6x2 – 6x = 6x(x – 1)

y’ = 0 => x = 0 ; x = 1

+ Giới hạn:

    + Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Đồ thị hàm số y = 2x3 – 3x2chỉ cắt đường thẳng y = -2 tại 1 điểm duy nhất. Từ đó suy ra phương trình 2x3 – 3x2 = -2 chỉ có 1 nghiệm.

Vậy phương trình -2x3 + 3x2 – 2 = 0 chỉ có một nghiệm.

c) 2x2 – x4 = -1     (3)

Số nghiệm của phương trình (3) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x2 – x4 và đường thẳng y = -1.

Xét hàm số y = 2x2 – x4 ta có:

– TXĐ: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = 4x – 4x3 = 4x(1 – x2)

y’ = 0 => x = 0 ; x = ±1

+ Giới hạn:

+Bảng biến thiên

– Đồ thị:

Đồ thị hàm số y = 2x2 – x4cắt đường thẳng y = -1 tại hai điểm. Từ đó suy ra phương trình 2x2 – x4 = -1 có hai nghiệm phân biệt.

Bài 5 (trang 44 SGK Giải tích 12): a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:

y = -x3 + 3x + 1

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số m:

x3 – 3x + m = 0

Lời giải:

a) Khảo sát hàm số y = -x3 + 3x + 1

– Tập xác định: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = -3x2 + 3 = -3(x2 – 1)

y’ = 0 ⇔ -3(x2 – 1) = 0 ⇔ x = ±1

+ Giới hạn:

+Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).

+ Cực trị:

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là: (-1; -1).

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (1; 3).

– Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; 1).

+ Đồ thị (C) đi qua điểm (-2; 3), (2;-1).

b) Ta có: x3 – 3x + m = 0 (*) ⇔ -x3 + 3x = m

⇔ -x3 + 3x + 1 = m + 1

Số nghiệm của phương trình (*) chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng (d): y = m + 1.

Biện luận: Từ đồ thị ta có:

+ Nếu m + 1 < –1 ⇔ m < –2 thì (C ) cắt (d) tại 1 điểm.

+ Nếu m + 1 = –1 ⇔ m = –2 thì (C ) cắt (d) tại 2 điểm.

+ Nếu –1 < m + 1 < 3 ⇔ –2 < m < 2 thì (C ) cắt (d) tại 3 điểm.

+ Nếu m + 1 = 3 ⇔ m = 2 thì (C ) cắt (d) tại 2 điểm.

+ Nếu m + 1 > 3 ⇔ m > 2 thì (C ) cắt (d) tại 1 điểm.

Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình x3 – 3x + m = 0 phụ thuộc tham số m như sau:

+ Phương trình có 1 nghiệm nếu m < -2 hoặc m > 2.

+ Phương trình có 2 nghiệm nếu m = -2 hoặc m = 2.

+ Phương trình có 3 nghiệm nếu: -2 < m < 2.

Bài 6 (trang 44 SGK Giải tích 12): Cho hàm số

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.

b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1, √2).

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.

Lời giải:

a) Ta có:

Vậy hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Ta có:

Vậy với m = 2 thì tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1, √2)

c) Với m = 2 ta được hàm số:

Xét hàm số trên ta có:

– TXĐ: D = R \ {-1}

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

=> Hàm số đồng biến trên D.

+ Tiệm cận:

=> đồ thị có tiệm cận đứng là x = -1.

=> đồ thị có tiệm cận ngang là y = 1.

+ Bảng biến thiên:

Hàm số không có cực trị.

– Đồ thị:

Một số điểm thuộc đồ thị:

Bài 7 (trang 44 SGK Giải tích 12): Cho hàm số

a) Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm đi qua điểm (-1; 1) ?

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.

c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) tại điểm có tung độ bằng 7/4.

Lời giải:

a) Đồ thị hàm số qua điểm (-1; 1) khi và chỉ khi:

b) Với m = 1, ta có:

– TXĐ: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = x3 + x = x(x2 + 1)

y’ = 0 ⇔ x(x2 + 1) ⇔ x = 0

+ Giới hạn:

+Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên (0; +∞) và nghịch biến trên (-∞; 0)

+ Cực trị:

Hàm số có điểm cực tiểu là (0; 1).

– Đồ thị:

c) Điểm thuộc (C) có tung độ bằng 7/4 nên hoành độ của điểm đó là nghiệm của phương trình:

Bài 8 (trang 44 SGK Giải tích 12): Cho hàm số:

y = x3 + (m + 3)x2 + 1 – m (m là tham số) có đồ thị (Cm).

a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là x = -1.

b) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại x = -2.

Lời giải:

a) Ta có: y’ = 3x2 + 2(m + 3)x = x[3x + 2(m + 3)]

y’ = 0 ⇔ x[3x + 2(m + 3)] = 0 ⇔ x1 = 0; x2 = [-2(m + 3)]/3 = -2/3 m – 2

– Nếu x1 = x2 => -2/3 m – 2 = 0 => m = -3

Khi đó y’ = 3x2 ≥ 0 hay hàm số luôn đồng biến trên R nên không có cực trị (loại).

Do đó để hàm số có cực trị thì m ≠ -3.

– Nếu x1 < x2 ⇔ m = -3 ta có bảng biến thiên:

Loại vì dựa vào bảng biến thiên ta thấy điểm cực đại là x = 0.

– Nếu x1 > x2 ⇔ m < -3 ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy điểm cực đại là x = -2/3 m – 2.

Để điểm cực đại là x = -1 thì:

 

b) Đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại x = -2 suy ra:

(-2)3 + (m + 3)(-2)2 + 1 – m = 0 (*)

=> -8 + 4(m + 3) + 1 – m = 0

=> 3m + 5 = 0 => m = -5/3

(Giải thích *: Cắt trục hoành tại x = -2 nên tọa độ giao điểm là (-2; 0). Thay tọa độ giao điểm vào phương trình hàm số ta được (*).)

Bài 9 (trang 44 SGK Giải tích 12): Cho hàm số

có đồ thị (G).

a) Xác định m để đồ thị (G) đi qua điểm (0; -1).

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m tìm được.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung.

Lời giải:

a) Đồ thị (G) đi qua điểm (0; -1) khi và chỉ khi:

b) Với m = 0 ta được hàm số:

 TXĐ: D = R \ {1}

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên D.

+ Tiệm cận:

Đồ thị có tiệm cận đứng là x = 1.

Đồ thị có tiệm cận ngang là y = 1.

+ Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

+ Giao điểm với Ox: (-1; 0)

+ Giao điểm với Oy: (0; -1)

c) Đồ thị cắt trục tung tại điểm P(0;-1), khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm P(0; -1) là:

y = y'(0).(x – 0) – 1 => y = -2x – 1

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -2x – 1