Giải tích – Chương 1 – Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

36

Bài 1 (trang 9 SGK Giải tích 12): Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:

a) y = 4 + 3x – x2

c) y = x4 – 2×2 + 3

d) y = -x3 + x2 – 5

Lời giải:

(Lưu ý:

Để xét xem dấu của hàm số là + hay – trong một khoảng nào đó ở bảng biến thiên, bạn lấy một giá trị bất kì nằm trong khoảng đó, thay vào đạo hàm y’. Nếu y’ là dương thì dấu của y’ trong khoảng đó là + và ngược lại.

Ví dụ: xét dấu y’ = -x2 + 4 trong khoảng (-2; 2). Chẳng hạn ta lấy một giá trị bất kì trong khoảng là 1, thay vào y’ ta được: y’ = -(-1)2 + 4 = 3 > 0. Do đó dấu của y’ trong khoảng (-2; 2) sẽ là +.)

a) D = R

y’ = 3 – 2x = 0 ⇔ x = 3/2

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; 3/2 ) và nghịch biến trong khoảng ( 3/2 ; + ∞ ).

b) D = R

y’ = x2 + 6x – 7

y’ = 0 ⇔ x = -7 hoặc x = 1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trong các khoảng (-∞ ; -7) và (1 ; +∞ ); nghịch biến trong khoảng (-7; 1 ).

c) D = R

y’= 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1)

y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = -1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ; 1) và (0 ; 1); đồng biến trong các khoảng (-1 ; 0) và ( 1; +∞).

d) D = R

y’= -3x2 + 2x

y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2/3

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ; 0) và (2/3 ; + ∞), đồng biến trong khoảng (0 ; 2/3 ).

Bài 2 (trang 10 SGK Giải tích 12): Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

Lời giải:

a) D = R \ {1}

y’ không xác định tại x = 1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ; 1) và (1 ; +∞ ) .

b) D = R \ {1}

y’ không xác định tại x = 1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ;1) và (1 ; +∞)

c) D = (-∞ ; -4] ∪ [5; +∞)

y’ không xác định tại x = -4 và x = 5

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trong nửa khoảng (-∞ ; -4] và đồng biến trong nửa khoảng [5 ; + ∞ ).

d) D = R \ {±3}

y’ không xác định tại x = ±3

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng đó nên hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞ ; -3) ( -3; 3) và (3; +∞ )

Bài 3 (trang 10 SGK Giải tích 12): Chứng minh rằng hàm số

đồng biến trên khoảng (-1; 1), nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).

Lời giải:

TXĐ: D = R

y’ = 0 => x = ±1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1), nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) và (1; +∞) (đpcm).