Đại số – Chương 4 – Bài 1: Số phức

Bài 1 (trang 189 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Cho số phức 2+3i;1+2i;2-i

a) Biểu diễn các số trong mặt phẳng số phức.

b) Viết số phức liên hợp của mỗi số đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức.

c) Viết đối số của mỗi số phức và biểu diến chúng trong mặt phẳng phức.

Lời giải:

a) Các điểm A, B, C trong mặt phẳng tọa độ (hình vẽ) là biểu diến các số phức: 1 + 2i; 2 + 3i; 2 – i.

b) Số phức liên hợp của số z=2+3i là z− =2-3i

z’=1+2i là z’−=1-2i

z”=2-i là z−”=2+i

Các điểm M, N P biểu diễn cho các số z−, z−‘,z−” như sau: (hình vẽ)

c) Số đối của số phức: z=2+3i là-z=-2-3i

z’=1+2i là-z=-1-2i

z”=2-i là-z=-2+i

Các điểm P, Q, R lần lượt biển diễn cho các số -z, -z’, -z’’.

Bài 2 (trang 189 sgk Giải Tích 12 nâng cao)

Xác định phần thực và phần ảo các số sau:

a) i+(2-4i)-(3-2i)     b) (√2+3i)²

c) (2+3i)(2-3i)    d) i(2-i)(3+i)

Lời giải:

a) Ta có i+(2-4i)-(3-2i)=-i-1 có phần thức là -1 và phần ảo là -1

b) Ta có (√2+3i)²=2+6 √2 i+(3i)²=2+6 √2 i-9=-7+6 √2 i có phần thức là -7 và phần ảo là 6 √2

c) Ta có (2+3i)(2-3i)=4-6i+6i-9i²=4+9=13 có phần thức là 13 và phẩn ảo là 0.

d) i(2-i)(3+i)=i(6-i+1)=1+7i có phần thức là 1 và phần ảo là 7.

Bài 3 (trang 189 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc O trong mặt phẳng phức biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.

Lời giải:

Gọi lục giác đều là ABCDEF, trong đó A là biểu diễn cho số i.

Suy ra A(0; 1) và góc AOB=60^o (hình vẽ)

Vậy sáu số phức cần tìm là:

Bài 4 (trang 189 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Thực hiện phép tính:

Lời giải:

Nhân cả tử và mẫu của số đã cho với lượng liên hợp ở mẫu ta được.

Bài 5 (trang 190 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Lời giải:

Bài 6 (trang 190 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Chứng minh

a) Phần thực của số phức z bằng 1/2(z+z− ), phần ảo của số phức z bằng 1/2i(z-z−)

b) Số phức z là phần ảo khi và chỉ khi z=-z−

c) Với mọi số phức z, z’ ta có

Lời giải:

a) Giả sử z=a+bi ta có z−=a-bi, nên

b) Giả sử z=a+bi

Theo bài ra z=-z− <=> a+bi=-(a-bi) <=> a=-a <=> a = 0

Vậy z = bi là một số ảo.

c) Giả sử z=a+bi,z’=a’+b’i. Ta có:

z+z’=(a+a’ )+(b+b’ )i => (z + z’)−=(a+a’ )-(b-b’ )i=(a-bi)+(a’-b’ i)=z−+z−‘   (đpcm)

z.z’=(a+bi)(a’+b’ i)=(aa’-bb’ )+(ab’+a’ b)i

=> zz’−=(aa’-bb’ )+(ab’+a’ b)i (1)

Và z−.z−‘=(a-bi)(a’-b’ i)=(aa’-bb’ )-(ab’+a’ b)i (2)

Từ (1) và (2) suy ra: zz’−=z−.z−‘ (đpcm)

Bài 7 (trang 190 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có:

i^4m=1;i^4m+1;i^4m+2=-1;i^4m+3=-i

Lời giải:

Ta có: i^4m=1=(i² )^2m=(-1)^2m=1,với ∀m ∈N*

i^4m+1=i^4m.i=1.i=i

i^4m+2=i^4m.i²=1.(-1)=-1

i^4m+3=i^4m.i³=1.i³=i³=i².i=-1.i=-i (đpcm)

Comments

comments